कैसे पता करें कि क्या ये समान हैं?
क्यूबिक समीकरण के लिए विकिपीडिया लेख में , रूट द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$
कहाँ पे $\Delta_0=b^2-3ac$ तथा $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$। इसके अलावा,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$।
एक अन्य वेबसाइट में , एक और रूट समाधान है:
$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$
मैंने इसका मूल्यांकन करने के लिए वुल्फराम | अल्फा में बाद को रखा है। $\Delta_1$इसमें देखा जा सकता है; लेकिन मुझे नहीं पता कि यह कैसे पता चलेगा और पिछले समाधान समान हैं।
जवाब
निर्धारित करें:
$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$
(निकल्स द्वारा इस पत्र में आकृति 1 देखें: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)
फिर आपके द्वारा प्रस्तुत दूसरी अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है
$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$
या के लिए $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
आपके द्वारा प्रस्तुत पहली अभिव्यक्ति में, हमारे पास है
$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$
ताकि अभिव्यक्ति बन जाए
$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$
या के लिए $h \ne 0$,
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$
जिसके बाद कोष्ठक में उस अंतिम शब्द के अंश और हर को गुणा करने के बाद $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$
हो जाता है
$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$
तो हाँ वास्तव में, आपके द्वारा पाए गए घन की जड़ों के लिए वे दो भाव समान हैं।
अब मैं आपको एक क्यूबिक की जड़ों के लिए उस सभी शास्त्रीय समाधान को फेंकने के लिए प्रोत्साहित करता हूं , और इसके बजाय निकोलस द्वारा प्रस्तुत और होम्स द्वारा निर्मित के रूप में निकल्स के दृष्टिकोण को सीखना चाहिए:
http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf
https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf