लश्कर $\{x_n\}$ में एक क्रम हो $(0, 1)$ ऐसा है कि $x_n \to 0$। वह क्रम दिखाओ $\{f(x_n)\}$ जोड़ देता है।
मैं निम्नलिखित समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं:
मान लो कि $f: (0, 1) \to \mathbb R$समान रूप से निरंतर है। लश्कर$\{x_n\}$ में एक क्रम हो $(0, 1)$ ऐसा है कि $x_n \to 0$। वह क्रम दिखाओ$\{f(x_n)\}$ जोड़ देता है।
मुझे लगता है कि अगर बिल्कुल $f(x_n)$ अभिसरण, इसे अभिसरण करना चाहिए $f(0)$ लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह किस प्रमेय (?) से आता है।
दूसरे, अगर हम कहते हैं कि अंतराल से निपटना है $[0, 1]$ बजाय $(0, 1)$मुझे लगता है कि मुझे इस बारे में एक विचार है कि कैसे दृष्टिकोण करना है। जबसे$f(x)$ पर समान रूप से निरंतर होगा $[0, 1]$ हर एक के लिए $\epsilon > 0$ हम एक होगा $\delta_\epsilon$ ऐसा है कि अगर $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ फिर $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$। जबसे,$x_n \to 0$ मुझे लगता है कि हम हमेशा कुछ चुन सकते हैं $N \in \mathbb N$ इस तरह के लिए $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$। तो हम चाहते हैं कि सभी के लिए$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ कुछ विकल्प के लिए $\epsilon > 0$।
लेकिन यहां हम खुले अंतराल के साथ काम कर रहे हैं $(0, 1)$ बजाय $[0, 1]$ और जैसे कि हम हर किसी के लिए गारंटी नहीं है $\epsilon > 0$ हम एक होगा $\delta_\epsilon$ ऐसा है कि अगर $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ फिर $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$। ऐसा इसलिए है क्योंकि वर्दी निरंतरता की परिभाषा बस कहती है:
लश्कर $(X, d_X)$ तथा $(Y, d_Y)$ दो मीट्रिक रिक्त स्थान और होने दो $f: X \to Y$। हम कहते हैं कि$f$ सभी के लिए समान रूप से निरंतर iff है $\epsilon > 0$ वहां एक है $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ ऐसे सभी के लिए $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$।
लेकिन ध्यान दें कि के मामले में $f: (0, 1) \to \mathbb R$ बिंदु $0$ में झूठ नहीं बोलता $(0, 1)$! तो हम गारंटी नहीं है कि सभी के लिए$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, कहाँ पे $X = (0, 1)$ तथा $Y = \mathbb R$ इस सन्दर्भ में।
किसी भी विचार कैसे इस सबूत को ठीक करने के लिए? भी, क्यों चाहिए$f(x_n)$ आवश्यक रूप से अभिसरण $f(0)$ अगर $x_n \to 0$? क्या यह समान रूप से निरंतर कार्यों की कुछ विशेष संपत्ति है?
जवाब
दिखाना, समान रूप से निरंतरता का उपयोग करना $f$, उस $(f(x_n))_n$ एक कौची अनुक्रम है। $f(0)$ आपकी सेटिंग में अपरिभाषित है (का डोमेन) $f$ है $(0,1)$) तो आप यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते $f(x_n) \to f(0)$। हालाँकि, तब से$\Bbb R$पूर्ण है, अनुक्रम एक सीमा को स्वीकार करता है। ध्यान दें कि समान रूप से निरंतर कार्य निरंतर हैं, इसलिए यदि कोई फ़ंक्शन$g$ पर परिभाषित किया गया $[0,1]$ समान रूप से निरंतर है, तो विशेष रूप से निरंतर होने के नाते, यह सच है कि $g(x_n)\to g(0)$।
एक दृष्टिकोण इस तथ्य का उपयोग करके है कि यदि $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ समान रूप से निरंतर है $(a,b)$, फिर $f$ एक अद्वितीय समान रूप से निरंतर विस्तार को स्वीकार करता है $[a,b]$। इस मामले के लिए, आप विशिष्ट रूप से मान को परिभाषित करने में सक्षम हैं$f(0)$ ऐसा है कि $f:[0,1)\to\mathbb{R}$समान रूप से निरंतर है। तब आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं$f(x_n)\to f(0)$ निरंतरता से।
च के लिए (x) निरंतर है, $\forall \epsilon, \exists \delta$ ऐसा जब $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$।
के लिये $x_n\to 0$, $\exists N,$ ऐसा जब $n>N, |x_n-0|<\delta$।
इसलिये $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ जोड़ देता है।
सुधार: @FormulaWriter ने कहा, $f(0)$ स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, इसलिए इसे प्रतिस्थापित करना बेहतर है $f(0)$ ऊपर के रूप में $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$।