परावर्तन सिद्धांत बनाम ब्रह्मांड
श्रेणी-सिद्धांत संबंधी चर्चाओं में, अक्सर सभी अबेलियन समूहों की श्रेणी, या सभी श्रेणियों, आदि को देखने का प्रलोभन होता है, जो जल्दी से सामान्य सेट-सिद्धांत संबंधी समस्याओं की ओर ले जाता है। ग्रोथेंडेक ब्रह्मांडों का उपयोग करके अक्सर इनसे बचा जाता है। सेट-थ्योरैटिक भाषा में, कोई व्यक्ति दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल को ठीक करता है$\kappa$ -- इस का मतलब है कि $\kappa$ कुछ बेशुमार कार्डिनल ऐसे हैं जो सभी के लिए हैं $\lambda<\kappa$, भी $2^\lambda<\kappa$, और किसी भी सेट के लिए $<\kappa$ कई सेट $S_i$ आकार का $<\kappa$, उनके संघ का आकार भी है $<\kappa$। इसका तात्पर्य है कि मंच$V_\kappa\subset V$ आकार के "सेट" $<\kappa$"खुद ZFC का एक मॉडल है - सेट पर किसी भी ऑपरेशन को लागू करने से, जैसे कि पॉवरसेट या यूनियन लेना, आप कभी नहीं छोड़ सकते $V_\kappa$। फिर इन सेटों को "छोटा" कहा जाता है, और फिर छोटे एबेलियन समूहों की श्रेणी निश्चित रूप से अच्छी तरह से परिभाषित होती है।
ऐतिहासिक रूप से, इस दृष्टिकोण का उपयोग पहले ग्रोथेंडिक द्वारा किया गया था; एक और हाल ही में पाया गया पाठ लुरी का काम है$\infty$-श्रेणियाँ। हालांकि, उनके उपयोग ने हमेशा कुछ हद तक बैकलैश का निर्माण किया है, कुछ लोग जेडएफसी स्लिप से परे स्वयंसिद्धों को स्थापित साहित्य में जाने के लिए तैयार नहीं हैं। उदाहरण के लिए, मुझे लगता है कि कुछ बिंदु पर एक लंबी चर्चा थी कि क्या ZFC में Fermat की लास्ट थ्योरम साबित हुई है, जिसे अब मैक्लार्टी ने बसाया है। हाल ही में, मैंने ऐसे ही तर्कों को देखा है जो प्रमेयों के लिए आते हैं जिनके प्रमाण लुरी के काम का उल्लेख करते हैं। (व्यक्तिगत रूप से, मुझे इस बारे में मजबूत भावनाएं नहीं हैं और या तो तर्क को समझते हैं।)
दूसरी ओर, यह भी हमेशा मामला रहा है कि एक करीबी निरीक्षण से पता चला कि ब्रह्मांड का कोई भी उपयोग वास्तव में अनावश्यक था। उदाहरण के लिए, स्टैक प्रोजेक्ट में ब्रह्मांड का उपयोग नहीं होता है। इसके बजाय, ( टैग 000H देखें ) यह प्रभावी रूप से परिकल्पना को कमजोर करता है$\kappa$ बेशुमार कोफिनिटी की एक मजबूत सीमा कार्डिनल की तरह कुछ करने के लिए दृढ़ता से दुर्गम है, अर्थात्: सभी के लिए $\lambda<\kappa$, किसी के पास $2^\lambda<\kappa$, और आप एक है जब भी गणनीय सेट के संग्रह$S_i$ आकार का $<\kappa$, का संघ भी $S_i$ आकार है $<\kappa$। ZFC आसानी से इस तरह के अस्तित्व को साबित करता है$\kappa$, और लगभग हर तर्क जो एबेलियन समूहों की श्रेणी में कर सकता है, वास्तव में भी की श्रेणी में काम करता है $\kappa$ऐसे के लिए -small abelian समूहों $\kappa$। यदि कोई अधिक जटिल तर्क करता है, तो कोई तदनुसार प्रारंभिक परिकल्पना को मजबूत कर सकता है$\kappa$। मैंने स्वयं इस गेम को खेलने का अवसर प्राप्त किया है, परिणाम के लिए www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf की धारा 4 देखें । इस अनुभव से, मुझे पूरा यकीन है कि कोई भी Lurie के "हायर टॉपोस थ्योरी", या किसी अन्य समान श्रेणी-प्रमेय के काम को फिर से लिख सकता है, एक तरह से सभी दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को हटाने के लिए, उन्हें ध्यान से चुने जाने के स्थान पर।$\kappa$ गुणों के साथ जैसे ऊपर वाले।
वास्तव में, जेडएफसी का एक प्रमेय प्रतीत होता है , प्रतिबिंब सिद्धांत ( उदाहरण के लिए, स्टैक प्रोजेक्ट के टैग 000F में संक्षेप में चर्चा की गई ), उदाहरण के लिए, यह गारंटी देता है कि यह हमेशा संभव है। अर्थात्, सेट सिद्धांत के किसी भी निर्धारित परिमित सेट के लिए, कुछ पर्याप्त रूप से बड़ा है$\kappa$ ऐसे, मोटे तौर पर, ये सूत्र पकड़ में आते हैं $V_\kappa$ अगर और केवल अगर वे पकड़ में हैं $V$। ऐसा लगता है कि सूत्रों के किसी भी निश्चित सेट के लिए, कुछ मिल सकता है$\kappa$ ऐसा है कि $V_\kappa$इन सूत्रों के संबंध में एक ब्रह्मांड की तरह व्यवहार करता है, लेकिन कृपया प्रतिबिंब सिद्धांत की मेरी बहुत भोली समझ में मुझे सही करें! (एक संबंधित तथ्य यह है कि ZFC, ZFC के स्वयंसिद्ध अंशों के किसी भी परिमित अंश की संगति साबित करता है।)
दूसरी ओर, किसी भी गणितीय पाठ में केवल बहुत से सूत्र होते हैं (जब तक कि यह "प्रमेय स्कीमा" नहीं बताता है, जो आमतौर पर ऐसा नहीं होता है जो मुझे विश्वास है)। सवाल इस प्रकार है, थोड़ा उत्तेजक:
क्या परावर्तन सिद्धांत का अर्थ है कि उच्च टोपो थ्योरी को एक तरह से फिर से लिखना संभव है जो ब्रह्मांड के उपयोग से बचा जाता है?
संपादित करें (28.01.2021): सभी बहुत उपयोगी उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! मुझे लगता है कि मेरे पास अब स्थिति की बहुत स्पष्ट तस्वीर है, लेकिन मैं अभी भी निश्चित रूप से निश्चित नहीं हूं कि प्रश्न का उत्तर क्या है।
जो मैं समझता हूं, (मोटे तौर पर) इस दिशा में सबसे अच्छा मेटा-प्रमेय निम्नलिखित है (एचटीटी के लिए विशेष)। याद रखें कि एचटीटी दो दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को ठीक करता है$\kappa_0$ तथा $\kappa_1$, इस प्रकार छोटे (में) के लिए जगह बना रही है $V_{\kappa_0}$), बड़े (में $V_{\kappa_1}$), और बहुत बड़ी (में $V$) वस्तुएं। इसके बाद एक एक्सोटोम प्रणाली में एचटीटी को पढ़ने की कोशिश की जा सकती है (यह अनिवार्य रूप से फेफरमैन के लेख "श्रेणी सिद्धांत की सेट-सिद्धांत संबंधी नींव" है, और नीचे रोड्रिगो फ्रेयर के उत्तर में भी प्रस्तावित किया गया है)।
(i) सामान्य ZFC स्वयंसिद्ध
(ii) दो अन्य प्रतीक $\kappa_0$ तथा $\kappa_1$, स्वयंसिद्ध के साथ कि वे कार्डिनल हैं, की कोफ़िनिटी $\kappa_0$ बेशुमार है, और यह कि $\kappa_1$ से बड़ा है $\kappa_0$।
(iii) एक स्वयंसिद्ध स्कीमा, जो प्रत्येक सूत्र के लिए कहती है $\phi$ सिद्धांत के सेट, $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ तथा $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$।
तब प्रतिबिंब सिद्धांत को दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है (देखें सबूत के स्केच के लिए रॉड्रिगो फ्रेयर का जवाब नीचे देखें):
प्रमेय। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली ZFC पर रूढ़िवादी है। दूसरे शब्दों में, इस औपचारिक प्रणाली में कोई प्रमेय जिसका संदर्भ नहीं है$\kappa_0$ तथा $\kappa_1$ ZFC का एक प्रमेय भी है।
यह ठीक वही निष्कर्ष है जो मैं करना चाहता हूं।
ध्यान दें कि $V_{\kappa_0}$ तथा $V_{\kappa_1}$ ZFC के मॉडल हैं, लेकिन (गंभीर रूप से!) इसे औपचारिक प्रणाली के अंदर साबित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ZFC सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध नहीं है, और केवल ZFC के प्रत्येक व्यक्ति द्वारा स्वयंसिद्ध (iii) प्रस्तुत किया गया है।
इस स्वयंसिद्ध प्रणाली के बारे में एक अच्छी बात यह है कि यह स्पष्ट रूप से "हम इस प्रमेय को छोटी श्रेणियों के लिए सिद्ध करते हैं, लेकिन तब हम इसे बड़ी श्रेणियों में भी लागू कर सकते हैं"।
एक अधिक सटीक प्रश्न यह है:
क्या एचटीटी के तर्क इस औपचारिक प्रणाली में काम करते हैं?
की धारा 11 में माइक शुलमैन https://arxiv.org/abs/0810.1279एक बहुत स्पष्ट बयान देता है कि यहां संभावित परेशानी क्या है। अर्थात्, यदि आपके पास एक सेट है$I\in V_{\kappa_0}$ और सेट करता है $S_i\in V_{\kappa_0}$ के लिये $i\in I$, आपको यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं है कि संघ $S_i$ में है $V_{\kappa_0}$। यह निष्कर्ष केवल गारंटी है यदि फ़ंक्शन$i\mapsto S_i$ में भी परिभाषित किया गया है $V_{\kappa_0}$ (या अगर $I$गणना योग्य है, बेशुमार cofinality की अतिरिक्त धारणा द्वारा)। व्यवहार में, इसका मतलब है कि जब कोई यह दावा करना चाहता है कि कुछ "छोटा" है (यानी में$V_{\kappa_0}$), यह निर्णय न केवल वस्तुओं से संबंधित है, बल्कि आकृति विज्ञान आदि से भी संबंधित है। मेरे लिए अभी यह स्पष्ट नहीं है कि वास्तव में यह कितनी समस्या है, मुझे इसके बारे में अधिक सोचना होगा; मैं वास्तव में कल्पना कर सकता हूं कि इस औपचारिक प्रणाली को पूरा करने के लिए HTT को पढ़ना काफी आसान है। शुलमैन का कहना है कि, इस चेतावनी के साथ, आसन्न फफूंद प्रमेय साबित किया जा सकता है, और जैसा कि लुरी अपने जवाब में कहते हैं, एचटीटी में तर्क समान सेट-प्रमेय जटिलता के हैं। हालाँकि, मुझे अभी भी एक फैसले में दिलचस्पी होगी कि क्या प्रश्न का उत्तर "हाँ, जैसा लिखा है" या बल्कि "संभवतः हां है, लेकिन आपको कुछ प्रयास" या वास्तव में "वास्तव में नहीं" करना होगा। (मुझे पूरी उम्मीद है कि विशेषज्ञ मोटे तौर पर इस बात पर सहमत होने में सक्षम होंगे कि इसका उत्तर इस स्पेक्ट्रम पर कहां है।)
एक अंतिम टिप्पणी: एक "मनमानी" धारणा को थोड़ा मनमाने ढंग से ऊपर पा सकता है; कुछ थोड़े बड़े यूनियनों को अनुमति क्यों नहीं? इसका ध्यान रखने का एक तरीका प्रतीक जोड़ना है$\kappa_{-1}$ एक ही गुण के साथ, और इसके बजाय पूछना है कि के cofinality $\kappa_0$ से बड़ा है $\kappa_{-1}$। इसी तरह, कोई बाउंड को बदलना चाहेगा$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ जैसे थोड़ा मजबूत बंधा हुआ $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$कहते हैं। फिर, अगर यह चीजों को सरल करता है, तो एक व्यक्ति दूसरे को निचोड़ सकता है$\kappa_{1/2}$ बीच में, ताकि $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ तथा $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$। इस तरह से किसी को यह चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि क्या कुछ प्रमाणों में दिखाई देने वाली "मानक" वस्तुओं में से कोई भी काउंटेबल आकार में रहती है, या क्या कोई अभी भी कॉलिमिट ले सकता है$V_{\kappa_1}$ जब सूचकांक सेट आकार से बंधे नहीं होते हैं $\kappa_0$ लेकिन थोड़ा हेरफेर किया गया है।
पुनश्च: मैं केवल अब सभी प्रासंगिक पिछले एमओ सवाल और जवाब पा रहा हूं। कुछ बहुत ही प्रासंगिक हैं जोएल हैम्किंस के उत्तर यहां और यहां दिए गए हैं ।
जवाब
मैं एक अंग पर बाहर जाने का सुझाव दे रहा हूं और सुझाव देता हूं कि एचटीटी पुस्तक कभी भी प्रतिस्थापन के लिए मजबूत से अधिक कुछ का उपयोग नहीं करती है $\Sigma_{15}$सेट सिद्धांत के सुधार। (यहाँ$15$ एक बेतरतीब ढंग से चुनी गई बड़ी संख्या है, और HTT बेतरतीब ढंग से चुनी गई गणित की किताब है जो विशेष रूप से सेट सिद्धांत के बारे में नहीं है।)
अपने मूल उत्तर पर गेब की टिप्पणी पर विचार करते हुए, अब मुझे लगता है कि मैंने जो लिखा है वह भ्रामक है क्योंकि यह दो अलग-अलग (लेकिन संबंधित) मुखरता का सामना करता है:
श्रेणी सिद्धांत में दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं है।
ZFC की पूरी ताकत वास्तव में श्रेणी सिद्धांत में आवश्यक नहीं है।
मैं इन दोनों कथनों से सहमत हूं, लेकिन यह सोचें कि 1 में से किसी को समझाने का सबसे अच्छा तरीका) 2 को जोड़ना नहीं होगा) एक प्रतिबिंब सिद्धांत के साथ: यानी, एक व्यक्ति को दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल के उपयोग को बदलने की कोशिश नहीं करनी चाहिए $\kappa$ जिसके लिए एक $V_{\kappa}$ ZFC का एक बड़ा हिस्सा मॉडल।
जैसा कि मैं इसे देखता हूं, "समस्या" जो सार्वभौमिक हल करती है, दो प्रकार के तर्क के संयोजन को सही ठहराना है:
ए) छोटी श्रेणियों के बारे में प्रमेय साबित करना कभी-कभी उपयोगी होता है $\mathcal{C}$ उन्हें "बड़ी" श्रेणियों में एम्बेड करके (उदाहरण के लिए, योनेदा एम्बेडिंग का उपयोग करके) जिसमें अच्छी अतिरिक्त विशेषताएं हैं: उदाहरण के लिए, सीमा और कॉलिमिट्स का अस्तित्व।
बी) बड़ी श्रेणियां भी श्रेणियां हैं, इसलिए कोई भी प्रमेय जो सामान्य रूप से श्रेणियों के लिए लागू होता है, बड़ी श्रेणियों के लिए भी लागू होना चाहिए।
यदि आप केवल बी) के बारे में चिंतित थे, तो एक प्रतिबिंब सिद्धांत प्रासंगिक हो सकता है। कार्डिनल चुनना$\kappa$ ऐसा है कि $V_{\kappa}$ ZFC के एक बड़े हिस्से को संतुष्ट करता है, आप "छोटी श्रेणी" का मतलब "श्रेणी से संबंधित" को फिर से परिभाषित कर सकते हैं $V_{\kappa}$"और" बड़ी श्रेणी "से मतलब है" श्रेणी जरूरी नहीं कि संबंधित हो $V_{\kappa}$", और आप आश्वस्त महसूस कर सकते हैं कि सभी मूल प्रमेय जो आप चाहते हैं, दोनों मामलों में मान्य हो सकते हैं।
लेकिन अगर आप ए के बारे में भी चिंतित हैं, तो यह जरूरी नहीं है। कहते हैं कि आप एक श्रेणी के साथ शुरू करते हैं$\mathcal{C}$ से संबंधित $V_{\kappa}$, और आप योनेदा एम्बेडिंग के कुछ संस्करण चाहते हैं। एक प्राकृतिक अनुमान से कार्य करने वालों की श्रेणी में एम्बेड किया जाएगा$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ आकार के सेट की श्रेणी में $<\tau$ (या इसके कुछ समकक्ष मॉडल), कुछ कार्डिनल के लिए $\tau$। पहला अनुमान है कि आपको लेना चाहिए$\tau = \kappa$, लेकिन मुझे लगता है कि यह केवल समझ में आता है $\kappa$दृढ़ता से दुर्गम है (अन्यथा कुछ होम सेट बहुत बड़े होंगे)। किसी भी मामले में गारंटी है कि इस निर्माण में अच्छे गुण हैं, आप कार्डिनल के विभिन्न गुणों की मांग करना चाहते हैं$\tau$। उदाहरण के लिए, यदि आप चाहते हैं कि इस श्रेणी में बहुत सारे कॉलिमिट्स हों, तो आप चाहते हैं$\tau$बड़ी cofinality है। और अगर आप यह सोचना शुरू कर दें कि आपको किस प्रकार की अतिरिक्त धारणाएं बनाने की आवश्यकता हो सकती है, तो आप वापस वहीं हैं जहाँ आपने शुरू किया था: इस बारे में सोचना कि किस तरह के कार्डिनैलिटी अनुमानों की गारंटी है कि "आकार के सेटों के अनुमान$< \tau$"सेट के सभी प्रेसीवेज़ की श्रेणी के लिए एक अच्छा अनुमान है। इसलिए उन मुद्दों से बचने के लिए प्रतिबिंब सिद्धांत वास्तव में आपकी मदद नहीं करता है।
(संपादित करें: मुझे यह लिखने के बाद एहसास हुआ कि नीचे दिया गया पाठ ज्यादातर पीटर की मूल पोस्ट को दोहरा रहा है। लेकिन मैं इसे यहां छोड़ दूंगा कि मैं उन्हें बहुत उपयोगी पाता हूं।)
यदि आप ZFC जैसी किसी चीज़ में कठोर औपचारिकता चाहते हैं, तो शायद सबसे बड़ी बात यह है कि पूरी तरह से बड़ी श्रेणियों के साथ दूर किया जाए। तो बी) एक गैर-मुद्दा है। ए) से निपटने के लिए, मुझे टिप्पणी करनी चाहिए कि कई "बड़ी" श्रेणियां जो किसी विशेष तरीके से उत्पन्न होने के बारे में बात करना चाहेंगी: एक छोटी श्रेणी से शुरू होती है$\mathcal{C}$ जिसमें पहले से ही कुछ प्रकार के कॉलिमिट्स हैं, और औपचारिक रूप से बढ़े हुए हैं $\mathcal{C}$ एक बड़ी श्रेणी बनाने के लिए $\mathcal{C}^{+}$जिसमें मनमाने ढंग से कोलीमेट्स हैं (जिन्हें आपने शुरू किया था उन्हें बदले बिना)। इस तरह से उत्पन्न होने वाली श्रेणियों को स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य कहा जाता है , और इसके लिए एक सरल सूत्र है$\mathcal{C}^{+}$: यह फंक्शंस की श्रेणी है $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ जो आपके द्वारा शुरू की गई सीमाओं को सुरक्षित रखता है (जो कि, आपके द्वारा शुरू की गई कॉलिमिट्स है) $\mathcal{C}$) का है।
अब, यदि आप छोटी श्रेणियों की दुनिया में इसकी नकल करना चाहते हैं, तो आप इसके बजाय कुछ कार्डिनल चुन सकते हैं $\kappa$ और इसके बजाय फंक्शनल फंक्शंस $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ _ कप्पा$} \}$, जो एक छोटी श्रेणी के बराबर है $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$। यह सवाल कि आप मिलते हैं कि क्या यह बड़ी श्रेणी के लिए एक अच्छा प्रतिस्थापन है$\mathcal{C}^{+}$ऊपर। उदाहरण के लिए, क्या इसकी बहुत सी सीमाएँ और कॉलिमिट्स हैं? सभी कॉलिमिट्स के लिए यह पूछना अनुचित है , लेकिन आप इसके बजाय निम्नलिखित पूछ सकते हैं:
प्र) श्रेणी में आता है $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ आकार के आरेखों द्वारा अनुक्रमित कॉलिमिट्स हैं $< \kappa$?
Q) का उत्तर "सामान्य रूप से नहीं है, लेकिन हाँ यदि $\kappa$ अच्छी तरह से चुना गया है "उदाहरण के लिए, यदि आपके पास कुछ अनंत कार्डिनल हैं $\lambda$ का आकार बांधना $\mathcal{C}$ और आपके द्वारा शुरू की जाने वाली कॉलिमिट आरेखों की संख्या, तो मेरा मानना है कि आप (i) गारंटी ले सकते हैं $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (और श्रेणी $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$अपेक्षित सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता हो सकती है)। इसके अलावा, यह साबित करने के लिए कि आपको किसी भी प्रकार के प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है।
अब आप निम्नलिखित भी पूछ सकते हैं:
Q ') श्रेणी में आता है $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ आकार के आरेखों द्वारा अनुक्रमित सीमाएं हैं $< \kappa$?
जब तक जवाब आम तौर पर "नहीं" होगा $\kappa$दृढ़ता से दुर्गम है। लेकिन अगर आप केवल एक विशेष प्रकार की सीमा में रुचि रखते हैं (उदाहरण के लिए, यदि आप ग्रोथेंडिक टॉपोई का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप विशेष रूप से परिमित सीमा में रुचि रखते हैं), तो उत्तर फिर से "हाँ के लिए" होगा$\kappa$ अच्छी तरह से चुना गया "और यह एक ऐसी चीज है जिसे आप ZFC के बहुत कम उपयोग करके साबित कर सकते हैं।
अब मेरा दावा है कि, मेरे अनुभव के आधार पर, उपरोक्त चर्चा उस तरह के प्रश्नों की प्रतिनिधि है जो आप "छोटी" और "बड़ी" श्रेणियों के बीच अंतर को नेविगेट करने की कोशिश करेंगे। मेरी पुस्तक में आते हैं, जो मूल प्रश्न के बारे में पूछा गया है)। व्यवहार में, आपको किसी बड़ी श्रेणी की संपूर्णता के बारे में बात करने की आवश्यकता नहीं है$\mathcal{C}^{+}$; इसका एक बड़ा पर्याप्त टुकड़ा बनाने के लिए पर्याप्त है (जैसे$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) वे विशेषताएं जिन्हें आप देखना चाहते हैं, जिन्हें आप चुनकर व्यवस्थित कर सकते हैं $\kappa$ सावधानी से।
मुझे यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट लगता है कि ZFC में चीजों को औपचारिक रूप से कैसे अनदेखा किया जाता है और "बड़ी" श्रेणी के संदर्भ में चीजों का अनुवाद किया जाता है $\mathcal{C}^{+}$, अपने "छोटे" सन्निकटन का उल्लेख करते हुए $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$केवल एक प्रमाण में सहायक के रूप में (जो अनिवार्य रूप से अभी भी कहीं बदल जाएगा!)। "ब्रह्मांडों" का आह्वान ZFC के स्वयंसिद्ध ढांचे के लिए होंठ सेवा का भुगतान करते समय इस तरह से लिखने का एक तरीका है, और निश्चित रूप से अपर्याप्त है।
मैं कुछ ऐसा उल्लेख करना चाहता हूं जो मुझे लगता है कि अभी तक इंगित नहीं किया गया है। मूल प्रश्न के साथ शुरू हुआ
सेट-थ्योरैटिक भाषा में, कोई व्यक्ति दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल को ठीक करता है $\kappa$... इसका मतलब है कि मंच $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ आकार के "सेट" $<\kappa$“खुद ZFC का एक मॉडल है।
हालाँकि, कथन है कि $V_\kappa$ ZFC का एक मॉडल यह कहने की तुलना में काफी कमजोर है $\kappa$दुर्गम है। वास्तव में, यदि$\kappa$ दुर्गम है, तो $\{ \lambda\mid V_\lambda$ ZFC का एक मॉडल है $\}$ में स्थिर है $\kappa$। इसलिए, सबसे छोटा दुर्गम (अगर वहाँ एक है) सबसे छोटे से बहुत बड़ा है$\kappa$ ऐसा है कि $V_\kappa$ मॉडल ZFC।
प्रतिबिंब सिद्धांत के रूप में इन्सोफ़र उपयोगी है (जो, जैसा कि कुछ अन्य उत्तरों ने इंगित किया है, एक कम से कम प्रश्न हो सकता है), यह केवल उन तर्कों के लिए सीधे मददगार है जिनमें ग्रोथेंडेक ब्रह्मांड की प्रासंगिक संपत्ति यह है कि यह ZFC का एक मॉडल है। हालांकि, कम से कम जब भोले रूप से तैयार होते हैं, तो बहुत सारे स्थान हैं जहां श्रेणी सिद्धांत इस से अधिक का उपयोग करता है। विशेष रूप से, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि ग्रोथेंडेक ब्रह्मांड दूसरे क्रम के प्रतिस्थापन को संतुष्ट करता है , जिसका अर्थ है कि कोई भी कार्य$f:A\to V_\kappa$, कहां है $A \in V_\kappa$, एक छवि है। कहते हुए की$V_\kappa$मॉडल ZFC का तात्पर्य केवल यह है कि यह प्रथम-क्रम प्रतिस्थापन को संतुष्ट करता है , जो केवल हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि ऐसा$f$ एक छवि है अगर $f$ से निश्चित है $V_\kappa$ तार्किक सूत्र द्वारा।
मेरा मानना है कि आमतौर पर तैयार किए गए ब्रह्मांड-आधारित श्रेणी सिद्धांत में द्वितीय-क्रम प्रतिस्थापन सर्वव्यापी है। उदाहरण के लिए, यदि${\rm Set}_\kappa$ में सेट की श्रेणी को दर्शाता है $V_\kappa$, तो यह साबित करने के लिए ${\rm Set}_\kappa$ भोलेपन में "पूर्ण और पूर्ण" है कि यह किसी भी फ़नकार के लिए एक सीमा और कॉलिमिट स्वीकार करता है जिसका डोमेन छोटा है, हमें ऐसे फ़नकार की छवियों को एक सेट में इकट्ठा करने के लिए दूसरे क्रम के प्रतिस्थापन की आवश्यकता है।
अब, इससे बचने के लिए श्रेणी सिद्धांत में सुधार करने के तरीके हैं। मैकलार्टी का पेपर कुछ सेट-थ्योरिटिक तरीकों से करता है। स्पष्ट रूप से सुसंगत दृष्टिकोण भोले "बड़ी श्रेणियों" को प्रतिस्थापित करने के लिए है (जिसका अर्थ है कि जिनके ऑब्जेक्ट और आकारिकी के सेट नहीं हो सकते हैं$V_\kappa$) बड़े के साथ ${\rm Set}_\kappa$- अनुक्रमित श्रेणियां । लेकिन यह हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी अधिक प्रकार का सुधार है।
अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो आप फॉर्म के विवरण के बाद हैं:
"अगर कुछ का उपयोग एचटीटी में ब्रह्मांडों को साबित करने के लिए किया गया था, तो कुछ को प्रतिबंधित करके उनके बिना साबित किया जा सकता है $V_\kappa$ के लिये $\kappa$ बहुत पर्याप्त"
इसका कठोर उत्तर, यदि हमारे पास HTT के बारे में अधिक जानकारी नहीं है, तो यह है कि ZFC के अनुरूप होने पर ऐसा कोई कथन नहीं हो सकता है।
वास्तव में, यह संभव है कि ब्रह्मांडों का अस्तित्व असंगत है (वास्तव में यह साबित करना संभव नहीं है कि यह सुसंगत है), और उस स्थिति में, ब्रह्मांडों का उपयोग करके कुछ भी साबित किया जा सकता है, और इसलिए इस तरह के बयान का मतलब यह होगा कि कुछ भी साबित किया जा सकता है। , यानी ZFC असंगत है।
मैं थोड़ा मैला हो रहा हूं कि क्या आदि में क्या साबित हो सकता है लेकिन मुख्य विचार वहां है
बेशक, हम एचटीटी के बारे में चीजों को जानते हैं, और अगर हम इसे ध्यान से पढ़ते हैं तो हम विश्लेषण कर सकते हैं कि यह ब्रह्मांड का उपयोग कहां करता है, और देखें कि वे वास्तव में जेडसी + के ट्रांज़िटिव मॉडल के साथ प्रतिस्थापित किए जा सकते हैं। $\Sigma_{15}$-फॉर्मल, जैसा कि जैकब बताते हैं। उस मामले में, चूंकि ऐसे अच्छे व्यवहार वाले मॉडल मौजूद हैं (रूप के)$V_\kappa$, के लिये $\kappa$अच्छी तरह से चुना हुआ), यह कोई समस्या नहीं है; और HTT को ब्रह्मांड के बिना फिर से लिखा जा सकता है - लेकिन HTT में क्या है, इसकी जानकारी के बिना यह साबित नहीं किया जा सकता है।
इसका "नैतिक" यह है कि, अधिकांश मुख्यधारा के श्रेणी के प्रमेय के सवालों में, ब्रह्मांड एक समय बचाने वाला उपकरण है, और गणित का वास्तविक हिस्सा नहीं है।
कोई प्रमेय $T$ का $\mathsf{ZFC}$ के स्वयंसिद्ध उपमित से निम्नानुसार है $\mathsf{ZFC}$ या, चीजों को सरल रखने के लिए, से $\mathsf{ZFC}$ जहां प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना प्रतिबंधित है $\Sigma_n$ predicates call, इसे कॉल करें $\mathsf{ZFC}_n$। अब क$\mathsf{ZFC}$, और अधिक ठीक है $\mathsf{ZFC}_{n+1}$, मनमाने ढंग से बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व को साबित करता है $\kappa$, बेशुमार cofinality की मजबूत सीमाएं, जैसे कि $V_\kappa$ का एक मॉडल है $\mathsf{ZFC}_n$, और, विशेष रूप से, प्रमेय का $T$, और ऐसे कि, इसके अलावा, कि किसी के सत्य मूल्य $\Sigma_n$ में मापदंडों के साथ बयान $V_\kappa$ में समान है $V_\kappa$(सत्य) ब्रह्मांड में। इन्हें हम कॉल कर सकते हैं$V_\kappa$ "सीमित ब्रह्माण्ड" इसमें वे सेट-थ्योरिटिक ऑपरेशन के तहत बंद हो जाते हैं, जैसे कि पॉवरसेट्स लेना, सिवाय इसके कि प्रतिस्थापन को या तो गणना करने योग्य होना चाहिए (सुविधा के लिए शामिल) या प्रतिबंधित करने के लिए $\Sigma_n$विधेय करना; और विशेष रूप से, वे जो भी अस्तित्व कथन के तहत बंद हैं$T$ बनाता है।
इसलिए विचार यह होगा कि ऊपर के संयोजन को लागू किया जाए $T$ उन सभी प्रमेयों के बारे में जिन्हें आप हायर टॉपोस थ्योरी का हिस्सा मानते हैं (और जो अन्य सिद्धांत पूर्वापेक्षाएँ के रूप में उपयोग किए जाते हैं) और उपयुक्त पाते हैं $n$। (मुझे वास्तव में उस पर शक है$n=1$ पर्याप्त होना चाहिए: मैं साधारण गणित में प्रतिस्थापन का एक उदाहरण खोजने के लिए बहुत आश्चर्यचकित होऊंगा जिसका पालन नहीं होता है $\Sigma_1$-संस्थापन।) फिर $\mathsf{ZFC}_n$ साबित होगा $T$ (सिद्धांत के सभी प्रमेय) और $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ सिद्धांत का उपयोग करने के लिए सीमित ब्रह्मांडों की एक अंतहीन आपूर्ति के अस्तित्व को साबित करेगा।
बेशक, एक अनंत लूप से बचने के लिए, आप उस प्रमेय पर विचार नहीं कर सकते हैं (एक अंतहीन आपूर्ति के अस्तित्व पर जोर देता है$V_\kappa$) सिद्धांत का हिस्सा बनने के लिए, या आपको एक बड़े स्तर पर जाने की आवश्यकता है $n$।
यह बताने के लिए कि एक तार्किक अंतर्विरोध जैसा क्या प्रतीत हो सकता है, यहाँ, यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि वह कथन जिसके कई मॉडलों का अस्तित्व है $\mathsf{ZFC}_n$ में सिद्ध किया जा सकता है $\mathsf{ZFC}$ हर एक के लिए $n$, लेकिन समान रूप से ऐसा नहीं है (प्रमाण अधिक लंबा और लंबा हो जाता है $n$ बढ़ता है), इसलिए $n$एक ठोस प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए , सार्वभौमिक रूप से मात्रात्मक (ओवर) $n$) कथन में सिद्ध नहीं है$\mathsf{ZFC}$। लेकिन यह कोई समस्या नहीं है जब तक कि आपका सिद्धांत तय नहीं हो जाता है और इसमें तैयार किया गया है$\mathsf{ZFC}$ (जो मांग करता है कि यह खुद नहीं है, किसी भी कंक्रीट के लिए ऐसे मेटाथोरियम शामिल हैं $n$ हम निम्नलिखित में सिद्ध कर सकते हैं $\mathsf{ZFC}$””। तो यह आप पर निर्भर है कि यह एचटीटी के लिए मामला है (और, यदि आप बहुत साहसी हैं, तो उचित खोजें$n$) का है।
(सिर्फ यह समझने के लिए कि कार्डिनल के प्रकार कैसे शामिल हैं, कार्डिनल्स $\kappa$ ऐसा है कि $V_\kappa$ का एक मॉडल है $\mathsf{ZFC}_1$ के निश्चित बिंदु हैं $\gamma \mapsto \beth_\gamma$समारोह। मुझे नहीं लगता कि इसके उचित विवरण के लिए कोई उम्मीद है$\kappa$ ऐसा है कि $V_\kappa$ का एक मॉडल है $\mathsf{ZFC}_n$ किसी भी ठोस के लिए $n\geq 2$। यह प्रश्न भी देखें ।)
- मतलब सबसे अधिक के साथ भविष्यवाणी करता है $n$ अनबाउंड क्वांटिफ़ायर के वैकल्पिक सेट, अस्तित्वमान क्वांटिफ़ायर से शुरू होते हैं, इसके बाद सूत्रबद्ध क्वांटिफ़ायर के साथ सूत्र होता है (फॉर्म का अर्थ) $\forall x\in y$ या $\exists x\in y$) का है।
ठीक है, मैंने आज बहुत कुछ खर्च करने की कोशिश की है, वास्तव में एचटीटी में कुछ विस्तार से देख रहा हूं। यह काफी सवारी है; मैंने निश्चित रूप से इस प्रक्रिया में कई बार अपना दृष्टिकोण बदला है। वर्तमान में, यह मुझे लगता है कि इसका उत्तर यह है कि HTT, जैसा कि लिखा गया है, इस औपचारिक प्रणाली में पढ़ा जा सकता है। (तो यह मजाक में ऐसा है जहां घंटों के बाद कोई कहता है "हां, यह स्पष्ट है।" निश्चित रूप से ऐसे बिंदु हैं जहां सही व्याख्या को चुना जाना है, लेकिन किसी भी गणितीय पाठ में, यह पहले से ही वैसे भी है।) इस जवाब के साथ, मैं एक तर्क को आगे बढ़ाना चाहता हूं कि एचटीटी को इस औपचारिक प्रणाली में पढ़ा जा सकता है, यह समझाने की कोशिश कर रहा है कि कुछ चीजों की व्याख्या कैसे की जाए, अगर अस्पष्टता उत्पन्न हो सकती है, और मुझे लगता है कि इसे पढ़ने के लिए इस तरह से काम करना चाहिए। लेकिन यह काफी संभावना है कि मैंने कुछ महत्वपूर्ण अनदेखी की, इसलिए कृपया मुझे सही करें!
टिम कैंपियन नोटों के रूप में, अधिकांश प्रारंभिक सामान समस्याओं के बिना काम करता है - वास्तव में, यह ब्रह्मांडों का भी उल्लेख नहीं करता है। जब तक यह नहीं होता, तब तक सब कुछ काम करता है$V_{\kappa_0}$, में $V_{\kappa_1}$, और में $V$, और दिए गए स्वयंसिद्ध स्कीमा भी गारंटी देता है कि किए गए कोई भी निर्माण संगत होंगे।
अध्याय 5 और 6 में पहुंचने पर किसी को करीब ध्यान देना पड़ता है और मुझे तीन अलग-अलग दृष्टिकोणों से इन अध्यायों से कुछ परिभाषाएं और प्रस्ताव पेश करने की कोशिश करनी चाहिए।
देखने का शास्त्रीय ZFC बिंदु, या (समान रूप से) वॉन न्यूमैन का एक - बर्नसे - गोडेल (NBG) सिद्धांत, जो सेट के अलावा कक्षाओं की अनुमति देता है, इसलिए हम सभी सेटों की (वर्ग-आकार) श्रेणी के बारे में बात कर सकते हैं $\mathrm{Set}$।
एचटीटी का दृष्टिकोण, जो कि ZFC + Grothendieck यूनिवर्स है।
Feferman के सेट सिद्धांत को देखने का बिंदु, प्रश्न में बताए गए रूप में। (वास्तव में, मुझे अब यकीन नहीं है कि क्या मुझे वास्तव में इन cofinality सीमा की आवश्यकता है। लेकिन यह जानना अच्छा है कि उन्हें रोका जा सकता है।)
ध्यान दें कि पूछा गया प्रश्न यह माना जाता है कि कोई व्यक्ति वास्तव में पहले दृष्टिकोण में रुचि रखता है, और दूसरों में केवल इस बात के लिए कि वे पहली सेटिंग के बारे में कुछ साबित करने के लिए उपयुक्त हैं। यह अध्याय 5 और 6 की सामग्री के साथ संरेखित करता है: प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों का पूरा सिद्धांत पहली सेटिंग में, दार्शनिक रूप से भी फिट बैठता है।
ठीक है, इसलिए याद रखें कि एक प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी - मुझे इसके बजाय केवल श्रेणियों के साथ रहना चाहिए $\infty$श्रेणी, अंतर हमारी चिंताओं के लिए अपरिहार्य है - एक (वर्ग-आकार) श्रेणी है $C$ यह सभी छोटे कॉलिमिट्स को स्वीकार करता है, और ऐसा कुछ नियमित कार्डिनल के लिए $\kappa$, कुछ छोटी श्रेणी है $C_0$ और एक समानता $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,
अर्थात $C$ स्वतंत्र रूप से सटे द्वारा प्राप्त किया जाता है $\kappa$-फिल्ड कोलीमिट्स टू $C_0$। (विशेष रूप से,$C_0$ आवश्यक रूप से पूर्ण उपश्रेणी के समतुल्य है $\kappa$की -compact वस्तुओं $C$।) विशेष रूप से, प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियां डेटा की एक छोटी मात्रा द्वारा निर्धारित की जाती हैं। इसके अलावा, विचार यह है कि$C$वास्तव में सभी वस्तुओं (सेट, समूह, जो भी हो) की श्रेणी है। यह दृष्टिकोण वास्तव में सबसे स्पष्ट रूप से 1 में स्पष्ट है), जबकि 2 में) और 3) प्रस्तुति की धारणा अचानक ब्रह्मांड पर फिर से निर्भर करती है, और अचानक वे फिर से केवल छोटे सेट / समूह / वाले होते हैं ...; फिर मुझे उनके अनुसार छोटे-प्रेजेंटेबल कहिए। ध्यान दें कि यह धारणा 2) और 3) में समझ में आता है, और यह केवल पर निर्भर करता है$V_{\kappa_0}$। एक छोटी-प्रस्तुति योग्य श्रेणी तब विशेष रूप से छोटे-निश्चित में होती है, इसलिए इसमें रहता है$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$, जहां यह समावेश 2 में एक समानता है) (लेकिन 3 में नहीं))।
2 में), एक आमतौर पर एक छोटी-सी श्रेणी को एक विशेष प्रकार की बड़ी श्रेणी के रूप में परिभाषित करता है, जो कि HTT का दृष्टिकोण है। लेकिन यहां मैं वास्तव में थोड़ा भ्रमित हो रहा हूं: फंक्शनलर्स की दो धारणाएं हैं$F: C\to D$: में निश्चित हैं $V_{\kappa_0}$, समान रूप से $F\in V_{\kappa_0+1}$ (अर्थात्, $V_{\kappa_0+1}$ के वर्ग हैं $V_{\kappa_0}$), या सभी फ़ंक्शंस में $V_{\kappa_1}$। मुझे यह स्पष्ट नहीं लगता कि कोई फ़नकार है$F: C\to D$ में $V_{\kappa_1}$ में निहित है $V_{\kappa_0+1}$, जैसा $C$ तथा $D$ खुद में ही रहते हैं $V_{\kappa_0+1}$। इन दो धारणाओं के बीच का अंतर गायब हो जाता है जब कोई सुलभ फिगर्स पर प्रतिबंध लगाता है, जो सभी निश्चित हैं। ध्यान दें कि 1) कहता है कि यह वास्तव में पहली धारणा है जिसकी हमें परवाह करनी चाहिए! (इस पोस्ट को लिखने से पहले, मुझे अंतर के बारे में पता नहीं था।)
3 में), आगे बढ़ने का उचित तरीका 1 द्वारा निर्धारित परिप्रेक्ष्य का उपयोग करना है), जो "$V_{\kappa_0}$"उचित श्रेणियां", इसलिए वे अंदर रहते हैं $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$। कोई इन पर फिर से विचार कर सकता है$\kappa_1$-स्मॉल श्रेणियां। पहले मैंने सोचा था कि 2) और 3) के दृष्टिकोणों के बीच यहां पर्याप्त अंतर होगा, लेकिन वास्तव में ऐसा लगता है कि दोनों ही मामलों में एक दो अलग-अलग धारणाओं पर पहुंचता है, जो एक बार सुलभ फंक्शनलों के लिए प्रतिबंधित होने पर सामंजस्य स्थापित करते हैं।
मुख्य प्रमेयों में से एक आसन्न फफूंद प्रमेय है: यदि $F: C\to D$प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों का एक फ़नकार है जो सभी छोटे कॉलिमिट्स को संरक्षित करता है, फिर यह एक सही आसन्न मानता है। इस प्रमेय का वास्तव में क्या मतलब है?
1 में), इसका मतलब है कि एक फ़नकार है $G: D\to C$ - जो विशेष रूप से इसका मतलब है कि यह सूत्रों द्वारा निश्चित होना चाहिए, क्योंकि यह वही है जो वर्ग-आकार की श्रेणियों के बीच के फंक्शंस हैं - एक साथ (निश्चित!) यूनिट और कॉउनेट परिवर्तन सामान्य स्थितियों को संतुष्ट करते हैं।
2 में), एक बस के बारे में है $C$ तथा $D$ जब छोटा माना जाता है $V_{\kappa_1}$और फिर वहां सही समीप के अस्तित्व का दावा करता है। अधिक जानकारी के बिना, यह वास्तव में वह नहीं देता है जो हम 1 में चाहते थे), एक प्राथमिकता के रूप में$G$(और यूनिट और युनिट परिवर्तन) सभी बड़े ब्रह्मांड में स्थित हैं। लेकिन यह जानकारी उसे याद करके प्राप्त की जा सकती है$G$ वास्तव में पहुँचा जा सकता है (निकटवर्ती फफूंद प्रमेय का एक हिस्सा जिसका मैं ऊपर उल्लेख करना चाहता हूं, लेकिन उसे शामिल किया जाना चाहिए), और इसलिए सब कुछ एक सेट पर निर्धारित किया जाता है।
3 में), कोई फिर से 1 का परिणाम प्राप्त करना चाहेगा), लेकिन पहले 2 में ऐसा करने की कोशिश कर सकता है) $V_{\kappa_1}$ और फिर पहुंच को साबित करना, इस प्रकार उपज देना कि सब कुछ निहित है $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$।
आइए देखें कि अध्याय 5 के शुरुआती स्थानों में यह कैसे खेला जाता है, जहां ब्रह्मांड का उपयोग किया जाता है।
परिभाषा ५.१.६.२: चलो $C$एक ऐसी श्रेणी बनें जो सभी छोटे कॉलिमिट को स्वीकार करती है। एक वस्तु$X\in C$है पूरी तरह से कॉम्पैक्ट functor अगर$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ द्वारा कॉपी किया गया $X$ छोटे कोलिमिट्स को संरक्षित करता है।
यहाँ $\widehat{\mathrm{Set}}$ में सेट का एक बहुत (बहुत बड़ी) श्रेणी है $V_{\kappa_1}$। आइए हम व्याख्या करें कि उपरोक्त प्रणालियों में इस परिभाषा का क्या अर्थ है।
यहाँ $C$कोई भी (संभवतः वर्ग-आकार) श्रेणी है। ध्यान दें कि, विशेष रूप से HTT में, "स्थानीय रूप से छोटा" एक मानक परिकल्पना नहीं है, इसलिए यह दो वस्तुओं के बीच आकारिकी को भी समुचित सेट करने की अनुमति देता है। इस कारण से, फ़नकार को वास्तव में जाना पड़ता है$\widehat{\mathrm{Set}}$, और यह कुछ ऐसा है जिसके बारे में हम इस सेटिंग में बात नहीं कर सकते। तो किसी को इस आपत्ति को पूरा करने के लिए स्थिति में सुधार करना होगा; यह कठिन नहीं होना चाहिए, लेकिन थोड़ा बुरा हो सकता है।
मुझे लगता है कि यह परिभाषा में निहित है $C$ किसी भी श्रेणी में निहित है $V_{\kappa_1}$। यह कड़ाई से 1 का सेटअप कैप्चर कर रहा है$C$ 1 से आने के रूप में छोटा है), तो किसी भी छोटे colimit आरेख में $C$ स्वचालित रूप से छोटा-निश्चित है।
यहां हमारे पास दो विकल्प हैं: या तो 1 से एक) या 2 से एक), और वे अलग-अलग धारणाएं देते हैं। संघर्ष के मामले में 1 से परिप्रेक्ष्य) सही है, इसलिए$C$छोटा-निश्चित है, और छोटे-निश्चित चित्र के कॉलिमिट्स के साथ कम्यूटेशन मांगता है। लेकिन जब 1 में) हमें स्थिति तैयार करने में परेशानी हुई, तो 3 में हाथ में ब्रह्मांड) का मतलब है कि अब स्थिति तैयार की जा सकती है: हम पूछ सकते हैं कि इसमें छोटे-निश्चित कॉलिमिट्स लगते हैं$C$ में कॉलिमित करना $\widehat{\mathrm{Set}}$। यहाँ$\widehat{\mathrm{Set}}$ में सेट हैं $V_{\kappa_1}$।
तो इस मामले में, उतावलापन यह है कि किसी को व्याख्या के बारे में 3 में थोड़ा सावधान रहना होगा, लेकिन 1 द्वारा निर्देशित) एक सही परिभाषा दे सकता है; और फिर सिस्टम वास्तव में मदद करता है।
प्रस्ताव 5.2.6.2: आज्ञा दें $C$ तथा $D$श्रेणियां बनें। फिर श्रेणियों$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ से बाएं निकटवर्ती फंक्शनल के $C$ सेवा मेरे $D$, तथा $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ से समीपवर्ती कार्यपालकों का अधिकार $D$ सेवा मेरे $C$ (विहित) एक दूसरे के समतुल्य हैं।
इस परिप्रेक्ष्य में, यह प्रस्ताव केवल तभी समझ में आता है जब $C$ तथा $D$ छोटे हैं, अन्यथा $\mathrm{Fun}(C,D)$बहुत बड़ा है। (जब कोई ऐसे फ़नकार श्रेणियों पर विचार करना चाहता है$C$ तथा $D$प्रस्तुत करने योग्य (या पहुंच योग्य) हैं, लेकिन केवल जब सुलभ फंक्शनलर्स तक सीमित है। इसलिए यह एक चर्चा है जो बाद में अध्याय 5 में दिखाई देगी।) फिर कथन पर्याप्त रूप से स्पष्ट है, और दिए गए प्रमाण लागू होते हैं।
इस परिप्रेक्ष्य में, मुझे लगता है कि यह 1 के समान है), सिवाय इसके कि कोई एक ही परिणाम को एक अलग ब्रह्मांड में भी बना सकता है।
मुझे भी।
ध्यान दें कि जैसा कि यह खड़ा है, 1 में) यह प्रस्ताव मामले में (अभी तक) लागू नहीं किया जा सकता है $C$ तथा $D$प्रस्तुत करने योग्य हैं। 2 में) और 3), (छोटे-) प्रस्तुत करने योग्य विशेष बड़ी श्रेणियां हैं, जिसके लिए परिणाम लागू होता है। हालांकि ध्यान दें कि फ़नकार श्रेणियां और उनकी समतुल्यता सभी एक बड़े ब्रह्मांड में रह रहे हैं, और हमें उनमें से कोई भी जानकारी नहीं है$V_{\kappa_0+1}$ या $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$।
अगला प्रस्ताव प्रेस्हेफ श्रेणी को मानता है $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$, और सबूत एक विशिष्ट तर्क है जिसमें समरूपता-सुसंगत मुद्दों को हल करने के लिए एक बड़े ब्रह्मांड को पारित किया गया है।
प्रस्ताव 5.2.6.3: आज्ञा देना $f: C\to C'$ छोटी श्रेणियों के बीच एक फ़नकार हो और चलो $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ के साथ रचना द्वारा प्रेरित presheaf श्रेणियों के प्रेरित फ़नकार हो $f$। फिर$G$ सही समीप है $\mathcal P(f)$।
यहाँ $\mathcal P(f)$ को अद्वितीय छोटे कोलिमिट-संरक्षण विस्तार के रूप में परिभाषित किया गया है $f$ (Yoneda एम्बेडिंग के तहत)।
यहां, हमारे पास दो वर्ग-आकार की श्रेणियां और उनके बीच के फंक्शंस हैं, सभी निश्चित (जैसा होना चाहिए)। प्रस्ताव हमें कुछ निश्चित चित्र बनाने के लिए (निश्चित)! यह बहुत कठिन नहीं है। लेकीन मे$\infty$-श्रेणी, हाथ से फंक्शनलर्स को परिभाषित करना बहुत मुश्किल है, इसलिए यह वास्तव में नहीं है कि लुरी कैसे आगे बढ़ता है!
यहाँ $\mathcal P(C)$ तथा $\mathcal P(C')$विशेष बड़ी श्रेणियां हैं। Lurie वास्तव में सबूत में बड़े Yoneda एम्बेडिंग को लागू करता है। तो यह वास्तव में केवल कुछ बड़े ब्रह्मांड में इकाई और counit adjunctions का उत्पादन कर रहा है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, मुझे लगता है कि यह प्रमाण वास्तव में वह नहीं देता है जो हम 1 में चाहते थे)!
हम तर्क दे सकते हैं कि Lurie कुछ बड़े "ब्रह्मांड" में डेटा का उत्पादन करने के लिए करता है। (संपादित करें: वास्तव में, जैसा कि टिम कैंपियन बताते हैं, किसी को जो लिखा गया है उसे सही ठहराने के लिए कम से कम चक्कर लगाना पड़ता है। उसके जवाब के लिए टिप्पणियां देखें।)
इसलिए इस प्रस्ताव को पढ़ते समय, सिस्टम 2 में) या 3), किसी को एक मानसिक मार्कर बनाना चाहिए जो कि अब तक साबित हो चुका है कि यह किसी के लिए उम्मीद से कमजोर है। लेकिन यह बाद में सही हो जाता है, यह देखते हुए कि सब कुछ डेटा की थोड़ी मात्रा से निर्धारित होता है।
अपशॉट: जबकि पहले मैंने सोचा था कि 2 और 3) के बीच पर्याप्त अंतर होगा, मुझे वास्तव में लगता है कि (लगभग) कोई नहीं है। एक अंतर यह है कि$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ एक उचित समावेश है, लेकिन अभ्यास में अंदर गारंटी की गारंटी देता है $V_{\kappa_0+1}$ में निश्चितता साबित होती है $V_{\kappa_0}$ (उदाहरण के लिए, यह साबित करके कि कुछ फ़ंक्शंस सुलभ हैं)।
ठीक है, अब मुझे बताओ कि यह काम क्यों नहीं करता है! :-)
इस प्रश्न का उत्तर देना हायर टॉपोस थ्योरी से जो आप चाहते हैं, उस पर दृढ़ता से निर्भर करता है, क्योंकि उच्च तार्किक शक्ति को व्यक्त करना बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के लिए उपयुक्त रूप से एकीकृत तार्किक ढांचे को व्यक्त करने से अलग लक्ष्य है। सामान्य श्रेणीबद्ध गणित के लिए एकीकृत मजबूत नींव एक अच्छा लक्ष्य है, और यहां कई योगदानकर्ताओं का लक्ष्य प्रतीत होता है। उस लक्ष्य के लिए टिप्पणियों में कहा गया सब कुछ और इस प्रश्न का उत्तर प्रासंगिक है। लेकिन ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में उपयुक्त कार्य विशाल तार्किक शक्ति के लिए नहीं कहते हैं।
जबकि HTT SGA की तुलना में ब्रह्मांडों के साथ अधिक जुड़ा हुआ है, न तो HTT और न ही SGA प्रतिस्थापन की (बहुत मजबूत) स्वयंसिद्ध योजना का वास्तविक उपयोग करता है। इस प्रकार वे ग्रोथेंडिक की तुलना में "सार्वभौमिक" मौलिक रूप से कमजोर का उपयोग कर सकते हैं। एक विशिष्ट और जर्मन उदाहरण के रूप में, ग्रोथेंडिक ने प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना के लिए सिर्फ एक अपील की। यह उनके महत्वपूर्ण प्रमाण में है कि प्रत्येक AB5 श्रेणी में एक जनरेटिंग सेट के साथ पर्याप्त इंजेक्शन हैं। और प्रतिस्थापन का यह उपयोग करने योग्य हो जाता है। यह काम किया, लेकिन Grothendieck को वास्तव में इसके परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं थी।
प्रतिस्थापन के Grothendieck के उपयोग पर विस्तार करने के लिए: 1940 के दशक में रेनहोल्ड बेयर ने मॉड्यूल साबित करने के लिए ट्रांसफ़ेक्ट इंडक्शन (जिसे प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना की आवश्यकता होती है) का उपयोग किया (किसी भी अंगूठी पर) पर्याप्त इंजेक्शन हैं। वह जानबूझकर नई प्रूफ तकनीकों की खोज कर रहा था और उसे एक अच्छा परिणाम मिला। Grothendieck के तोहोकु ने एक प्रमाण के रूप में प्रत्येक AB5 श्रेणी को जेनरेटरों के एक छोटे सेट के साथ दिखाने के लिए पर्याप्त इंजेक्शन लगाए हैं - और कुछ साल बाद Grothendieck ने पाया कि यह ठीक उसी तरह का विषय था जिसकी उन्हें टोपोस कोहोलोलॉजी के लिए आवश्यक था। बेयर और ग्रोथेंडीक दोनों के पास व्यावहारिक लक्ष्य थे, जो नींव की चिंताओं से बंधे नहीं थे, लेकिन दोनों नींव भी सही प्राप्त करना चाहते थे। और उन्होंने किया। लेकिन यह पता चलता है कि वे उन्हीं प्रमेयों को प्राप्त कर सकते थे, सही ढंग से, प्रतिस्थापन के बिना, लगभग एक ही प्रमाण द्वारा, बड़े पर्याप्त फ़ंक्शन सेट को निर्दिष्ट करने के लिए (पावर सेट का उपयोग करके, लेकिन प्रतिस्थापन नहीं)। ऐसे परिणाम हैं जो वास्तव में प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध योजना की आवश्यकता है। लेकिन वे परिणाम शायद ही कभी संस्थापक अनुसंधान के बाहर होते हैं।
1960 के दशक से बहुत अलग-अलग कोणों (कुछ तर्कशास्त्रियों, कुछ नापसंद तर्क) से आने वाले बहुत से लोगों ने टिप्पणी की है कि बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के संदर्भ में, ग्रोथेंडिक के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध की उच्च तार्किक शक्ति, वास्तव में अप्रयुक्त उप-उत्पाद है कोथोलॉजी के लिए एकीकृत ढांचे के लिए ग्रोथेंडिक की इच्छा। अब इसे काफी सटीक बनाया जा सकता है: संपूर्ण ग्रोथेंडिक उपकरण जिसमें न केवल फफूंद के फफूंद कोऑहोलोजी शामिल हैं, बल्कि 2-श्रेणी के टॉपोस, और व्युत्पन्न श्रेणियां भी लगभग उसी तरह से औपचारिक रूप से औपचारिक रूप से निर्धारित की जा सकती हैं, जैसे कि ग्रोथेंडिक द्वारा औपचारिक रूप से की गई थी, लेकिन Zermelo-Fraenkel या यहां तक कि Zermelo सेट सिद्धांत के नीचे तार्किक शक्ति। एचटीटी के लिए भी यही सच है। आप इसे दुर्गम ब्रह्मांडों या प्रतिबिंब के बिना प्राप्त कर सकते हैं जब तक कि आपको प्रतिस्थापन की विशाल (और शायद ही कभी इस्तेमाल की गई) ताकत की आवश्यकता न हो । प्रमाण वास्तव में HTT के लिए नहीं दिया गया है। यह ग्रोथेंडिक के ब्रह्मांडों के उपयोग के लिए किया गया है । ऐसा लगता है कि यह एचटीटी के लिए काम करेगा।
तार्किक शक्ति की आवश्यकता उदासीन तरीके से व्यक्त की गई है: सरल प्रकार का सिद्धांत (अंकगणित के साथ), परिमित आदेश अंकगणित, सेट की श्रेणी का प्राथमिक सिद्धांत, बाध्य क्वांटिफायर जर्मेलो सेट सिद्धांत। मोटे तौर पर, आप प्राकृतिक संख्याओं के एक समूह को प्रस्तुत करते हैं, और आप मानते हैं कि प्रत्येक सेट में एक शक्ति सेट है, लेकिन आप पावर सेटों के निर्बाध पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। ब्रह्मांड के एक काफी भोले सिद्धांत को इनमें से किसी एक पर रूढ़िवादी दिया जा सकता है (जिस तरह से गोडेल-बर्नेज़ सेट सिद्धांत ZFC पर रूढ़िवादी है) और ग्रोथेंडेक स्कूल के सभी बड़े संरचना तंत्र के लिए पर्याप्त है।
मैं एक स्थिरांक के पालन द्वारा ZFC से प्राप्त ZFC के रूढ़िवादी विस्तार पर विचार करूंगा $\alpha$ और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध:
$\alpha$ एक अध्यादेश है ($Ord(\alpha)$) का है।
वाक्य $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$, मूल भाषा में प्रत्येक वाक्य के लिए $\phi$ (स्वयंसिद्ध योजना)।
$V_{\alpha}$ के रूप में व्यवहार करता है $V$(सेट सिद्धांत की भाषा में सभी वाक्यों के लिए)। यदि दो (या अधिक) ब्रह्मांडों की आवश्यकता होती है, तो एक और निरंतर जोड़ सकता है$\beta$ इसी स्वयंसिद्ध, और स्वयंसिद्ध के साथ $\alpha<\beta$।
प्रमाण कि परिणामी सिद्धांत ZFC पर रूढ़िवादी है आसान है।
मान लो की $\phi$ नए स्वयंसिद्धों (प्रयोग करने वाले स्वयंसिद्धों) से सिद्ध है $\alpha$), जिसमें $\phi$मूल भाषा में है। चूँकि कोई भी प्रमाण परिमित है, वहाँ बहुत से वाक्य हैं$\phi_1$,, ... $\phi_n$ ऐसा है कि
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
किसी भी नए स्वयंसिद्ध के बिना सिद्ध है। इसलिए, कोई भी सोच सकता है$\alpha$एक नि: शुल्क चर और उपरोक्त वाक्य ZFC (स्थिरांक पर प्रमेय) में सिद्ध है। जबसे$\alpha$ में नहीं होता है $\phi$ZFC ($\exists$-परिचय):
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
अब, ZFC के लिए प्रतिबिंब सिद्धांत कहता है कि पूर्ववर्ती एक ZFC- प्रमेय है। मॉडस पोनेंस से, ZFC साबित होता है$\phi$।
तो आप नए स्वयंसिद्धों के साथ काम कर सकते हैं और $V_{\alpha}$ एक ब्रह्मांड के रूप में व्यवहार करता है, और जो कुछ भी साबित होता है वह उल्लेख नहीं करता है $\alpha$ ZFC में पहले से ही साबित हो सकता है।
एक सवाल जो टिप्पणियों में आया था वह सवाल पूछने की प्रेरणा के बारे में था । मुझे इसे यहाँ संबोधित करने का प्रयास करें।
सबसे महत्वपूर्ण, यह सीखने के बारे में है! जैसा कि मैंने मूल प्रश्न में उल्लेख किया है, मैंने खुद को कुछ "बेवकूफ" कार्डिनल सीमा के साथ घेर लिया था, और बाद में केवल प्रतिबिंब सिद्धांत के बारे में सीखा, इसलिए मैं समझना चाहता था कि यह क्या कर सकता है (और यह क्या नहीं कर सकता), और क्या मैं किसी भी तरह से इस मशीन में इस तरह के अनुमानों के किसी भी आगे के जटिल संस्करणों को स्वचालित रूप से हटा सकते हैं। तो यह सामान्य बात है जहाँ आप बस एक अंधेरे कमरे में इधर-उधर ठोकर खा रहे हैं, और कमरे को रोशन करना बहुत पसंद करेंगे! तो, आप सभी को रोशन जवाब के लिए धन्यवाद!
एक और कारण यह है कि हाल ही में मैं हाथ में समस्या के लिए ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के समाधान से थोड़ा निराश हो गया। मुझे समझाने दो।
मैं सभी सेटों, या सभी समूहों, आदि की श्रेणी के बारे में बात करना चाहता हूं और इसके बारे में प्रमेय सिद्ध करना चाहता हूं। और, ZFC थ्योरी के कम से कम वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल (NBG) संस्करण जो कक्षाओं की अनुमति देता है, यह पूरी तरह से मान्य धारणा है। इसलिए मैं इसे इस सेटिंग में काम करने के लिए ontologically बहुत मनभावन लगता हूं, और उस अर्थ में (प्रेजेंटेबल) श्रेणियों के बारे में प्रमेय होने के लिए आसन्न फफूंद प्रमेय को बहुत पसंद करेंगे।
अब प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियां डेटा की एक छोटी राशि द्वारा निर्धारित की जाती हैं, इसलिए कोई भी हमेशा डेटा की इस छोटी राशि के साथ काम कर सकता है और सापेक्ष आकारों का सावधानीपूर्वक ध्यान रख सकता है। वास्तव में, एचटीटी में कई सबूत स्पष्ट रूप से इस तरह के सापेक्ष आकारों का ट्रैक रखते हैं, लेकिन अभी भी कुछ स्पॉट हैं जहां पहले "व्यापक दृश्य" लेना अच्छा है और इन बड़ी श्रेणियों को देखें जैसे कि वे छोटे थे।
वास्तव में, सहायक फ़ंजर प्रमेय बड़ी श्रेणियों के बीच फंक्शनलर्स के बारे में है, और एनबीजी / जेडएफसी के भीतर से इस बारे में बात करना जल्दी से बुरा हो जाता है। ध्यान दें कि आसन्न फफूंद प्रमेय का कथन एकदम सही समझ में आता है - यह सिर्फ पूछता है कि सहायक के सभी डेटा निश्चित हैं। लेकिन "भीतर" से इन चीजों को बोलने की कोशिश करना थोड़ा बुरा है। इसलिए यह निश्चित रूप से अच्छा होगा कि किसी तरह के मेटा-थ्योरी का उपयोग किया जाए जिससे इन बड़ी श्रेणियों के बारे में बहस हो सके, और यह दिखावा किया जा सके कि वे छोटे हैं। "भीतर से निश्चितता" का सूक्ष्म प्रश्न इस मेटा-थ्योरी में खोई जाने वाली एक प्राथमिकता हो सकती है, लेकिन मैं इस प्रश्न को "भीतर से निश्चितता" के रूप में केंद्रीय मानता हूं, क्योंकि आखिरकार जो मैं चाहता था वह सभी सेटों के बारे में एक प्रमेय था , इसलिए मैं ' इसके साथ थोड़ा सा ध्यान देने के लिए ठीक है - और, पंचलाइन को दूर करने के लिए, यह पता चला है कि यह ग्रोथेंडेक ब्रह्मांडों के साथ काम करने और फेफरमैन के "ब्रह्मांड" के साथ काम करने के बीच का अंतर है।
तो यह वह चीज है जो ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड के लिए हैं: वे हमेशा आपको किसी भी ब्रह्मांड के लिए एक बड़ा ब्रह्मांड देते हैं जो आप वर्तमान में काम कर रहे हैं। मुझे लगता है कि ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों का अस्तित्व पूरी तरह से सहज है, और वास्तव में उनके अस्तित्व को पूरी तरह से प्रस्तुत करने के साथ बराबर लगता है। पहली जगह में अनंत सेट: आप बस अपनी पहले से ही एक बड़ी इकाई में सब कुछ इकट्ठा करने की अनुमति दे रहे हैं।
लेकिन अब अचानक जो मैं सोचता था कि सभी सेट छोटे सेट कहलाते हैं , और भी कई बड़े सेट हैं। इसलिए भले ही मैं इस सेटिंग में एक सहायक फ़ंजर प्रमेय साबित करता हूं, लेकिन यह सभी सेटों / समूहों / ... की श्रेणियों के बीच फ़ंक्शनलर्स के बारे में एक प्रमेय नहीं है , लेकिन छोटे सेटों / समूहों / के बीच फ़ंक्शनलर्स में से केवल एक है । इसके बारे में सोचें, यहां तक कि ZFC + Grothendieck ब्रह्मांडों में, आप कभी भी यह साबित नहीं करेंगे कि प्रमेय आप वास्तव में चाहते थे, सभी सेटों की श्रेणी के बारे में । (वास्तव में, हाल ही में, मैंने मान लिया था कि आसन्न फफूंद प्रमेय (के लिए)$\infty$-सीटरीज) ZFC का एक स्टेटमेंट है जो "ZFC + यूनिवर्स" के तहत साबित हुआ है, लेकिन यह बिलकुल सही नहीं है: जो स्टेटमेंट साबित हुआ है वह केवल ZFC + यूनिवर्स में ही तैयार किया जा सकता है।)
जो साबित हो गया है कि यह सुसंगत है कि सहायक फ़ंजर प्रमेय धारण करता है। पूरी तरह से, ZFC + यूनिवर्स की संगति को मानते हुए, आपने अब ZFC - यूनिवर्स के अपने मॉडल में छोटे सेटों का एक मॉडल तैयार किया है - जिसमें प्रमेय सत्य है। तो अब आप सिद्धांत "ZFC + the adjoint functor theorem" में काम कर सकते हैं, जिसमें adjoint functor theorem को सभी सेटों / समूहों / ... की श्रेणी में लागू किया जा सकता है , लेकिन यह निश्चित रूप से मेरे लिए एक धोखा जैसा लगता है। आपने यह भी साबित नहीं किया कि "ZFC + Universes + the adjoint functor theorem" सुसंगत है! (आप यह पूछेंगे कि यदि आप ZFC + Universes की तुलना में थोड़ा अधिक की स्थिरता के साथ शुरू करते हैं, तो पूछ रहे हैं$\kappa$ ऐसा है कि $V_\kappa$ZFC + यूनिवर्स को संतुष्ट करता है। फिर से, यह मेरे लिए पूरी तरह से उचित धारणा की तरह लगता है - बस चलते रहो।) लेकिन अब आपको यह खतरा देखने को मिल सकता है कि आप अनजाने में निरंतरता की सीढ़ी चढ़ते हैं, जैसा कि आप स्पष्ट रूप से अधिक से अधिक आह्वान करना शुरू करते हैं और छोटे सेटों में भी प्रमेय साबित होते हैं। के लिए सभी सेट।
यह बहुत अच्छा होगा यदि आपको पता होगा कि, ZFC + Grothendieck ब्रह्मांड में, आपने जो कुछ छोटे सेटों के बारे में साबित किया है वह भी सभी सेटों की पूरी परिवेश श्रेणी के बारे में एक प्रमेय है। यह स्वचालित नहीं है, लेकिन आप इसे एक स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में जोड़ सकते हैं। श्रेणी सिद्धांत के लिए सेट थ्योरी की धारा 12 में माइक शुलमैन (arXiv: 0810.1279) इस विचार पर चर्चा करता है (कि वह ZMC को दर्शाता है): मुझे लगता है कि यह बहुत ही मनभावन है, यह भी एक बहुत ही सरल जियोमैटाइज़ेशन लगता है (ZFC से भी सरल!)। लेकिन अ
क) यह अतिरिक्त स्वयंसिद्ध स्कीमा मेरे लिए पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है: छोटे सेटों में जो कुछ भी सच है वह सभी सेटों पर क्यों होना चाहिए ? (खास तौर पर अगर हम कुछ परेशानी पहली जगह में वांछित परिणाम साबित ध्यान दें कि यह निश्चित रूप से करता था इसके अलावा,। नहीं के लिए पकड़ किसी भी छोटे सेट की धारणा: बल्कि, स्वयंसिद्ध स्कीमा की गारंटी देता है है कि वहाँ कुछ छोटे सेट की धारणा जो इस तरह के लिए परावर्तन धारण करता है। अब यह मेरे लिए थोड़ा संदिग्ध प्रतीत होता है क्योंकि पहली बार में मुझे कभी छोटे सेट नहीं चाहिए थे, इसलिए अब मैं उन्हें प्रस्तुत कर रहा हूं, और यह भी पूछना चाहता हूं कि वे अभी भी सभी सेटों के पूरे व्यवहार को दर्शाते हैं। शायद ठीक है, लेकिन नहीं मेरे लिए स्वयं स्पष्ट)
बी) इस स्वयंसिद्ध स्कीमा की स्थिरता शक्ति काफी अधिक है: यह एक महालो कार्डिनल की स्थिरता के समान है। यह अभी भी कम ईश है क्योंकि बड़े कार्डिनल्स जाते हैं, लेकिन यह ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों (जो वास्तव में पदानुक्रम के निचले हिस्से में कम हैं) की तुलना में बहुत अधिक है।
क) के बारे में, यह तथ्य कि हम ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों की संगति से निकटवर्ती फफूंद प्रमेय की स्थिरता को सही दिशा में इंगित कर सकते हैं, लेकिन यह अपने आप में इस बात की गारंटी नहीं देता कि दोनों एक साथ हैं। मैं कल्पना कर सकता हूं कि मैं खुद को समझा सकता हूं कि स्वयंसिद्ध स्कीमा उचित है, लेकिन मुझे निश्चित रूप से लगता है कि इसे केवल ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों की तुलना में अधिक औचित्य की आवश्यकता है। (साइड प्रश्न: बड़े कार्डिनल्स कितने बड़े हैं, जो "हमारे पास पहले से ही सब कुछ इकट्ठा करने की अनुमति देने के विचार" का उपयोग करके औचित्य सिद्ध कर सकते हैं? मुझे यकीन नहीं है कि यह पूरी तरह से परिभाषित प्रश्न है ... लेकिन मेरे लिए, एक? औसत दर्जे का कार्डिनल निश्चित रूप से उस तरह का नहीं होता है (लेकिन मुझे सही खड़े होने में खुशी होती है), क्योंकि यह नए कॉम्बिनेटरियल फीचर्स के उद्भव को प्रस्तुत करता है।)
एक और कारण है कि हाल ही में मैं ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों से थोड़ा नाखुश हो गया हूं, जबकि कुछ अर्थों में हम उन्हें सेट-थियोरेटिक सूक्ष्मताओं को अनदेखा करने में सक्षम होना चाहते हैं, कुछ मायनों में वे आपको काटने के लिए वापस आते हैं, जैसा कि अब आपको निर्दिष्ट करना होगा। किस ब्रह्मांड में कुछ चीजें रहती हैं। कभी-कभी, आपको विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के लिए कई अलग-अलग ब्रह्मांडों को निर्दिष्ट करना पड़ सकता है (प्रोफेसर सेटों पर शीशों के बारे में सोचें), और मुझे लगता है कि यह बहुत जल्दी बदसूरत हो जाता है। मैं ज्यादा नहीं बल्कि सभी वस्तुओं को एक साथ एक ब्रह्मांड में रहना होगा।
इसलिए, अनपेक्षित सेटों पर शीशों के बारे में सोचते हुए, मैं केवल एक ब्रह्मांड के साथ समाधान खोजने के लिए आया, जो कि बहुत अधिक आश्चर्यजनक रूप से और ontologically मनभावन है, और इस समाधान (संघनित सेट) को बिना परेशानी के ZFC में औपचारिक रूप दिया जा सकता है।
ठीक है, इसलिए मैं दावा करता हूं कि ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों ने वास्तव में उस समस्या को हल नहीं किया है जिसे वे हल करने के लिए निर्धारित करते हैं, जैसा कि
क) वे अभी भी आपको सभी सेटों / समूहों की श्रेणी के बारे में प्रमेयों को साबित करने की अनुमति नहीं देते हैं ...
बी) उनके साथ काम करना, आपको अभी भी आकार के मुद्दों के बारे में चिंता करना होगा - सभी सेटों की आपकी श्रेणी अब सभी प्रकार के विभिन्न आकारों (यानी विभिन्न ब्रह्मांडों में) के स्तरीकृत हो जाती है।
इसके अलावा, वे स्थिरता शक्ति भी बढ़ाते हैं।
अब, इस अद्भुत चर्चा के बाद, मुझे लगता है कि फेफरमैन का प्रस्ताव वास्तव में बहुत बेहतर है। हालांकि, जैसा कि माइक शुलमैन ने भी टिप्पणी की थी, मैं Feferman के स्वयंसिद्ध संबंध को किसी भी ontologically सही दुनिया का वर्णन करने के रूप में नहीं मानता, लेकिन मैं Feferman के सिद्धांत के "ब्रह्मांडों" को केवल उपयुक्तता के रूप में मानता हूं, ताकि वे बड़े होने के बारे में बात कर सकें। दूसरे शब्दों में, Feferman का सिद्धांत आपको एक मेटा-सिद्धांत देता है जिसमें "बाहर" से ऐसी बड़ी श्रेणियों के बारे में बहस करना है। लेकिन यह एक ऐसा सिद्धांत है जिसका उपयोग मैं केवल ZFC के एक प्रमेय का प्रमाण देने के लिए करूंगा। Grothendieck ब्रह्मांडों की तुलना में, Feferman का सिद्धांत
क) करता है आप की श्रेणी के बारे में प्रमेयों साबित करने के लिए अनुमति देने के सभी सेट / समूहों / ..., यह स्पष्ट रूप से एक स्वयंसिद्ध स्कीमा कि छोटे सेट के बारे में सभी प्रमेयों भी सभी सेट के बारे में प्रमेयों हैं शामिल हैं क्योंकि।
बी) बेशक, ZFC के एक प्रमेय के प्रमाण के भीतर जो कुछ नैटिव साइज़ के मुद्दों को आमंत्रित करता है, यह बहुत स्वागत योग्य है कि सिद्धांत आपको विभिन्न आकारों के बारे में बात करने में सक्षम बनाता है। इसके अलावा, यह इस तरह से होता है, जहाँ आप अभी भी ZFC के सभी एक्सिलिओम्स को "प्रत्येक ब्रह्मांड" पर लागू कर सकते हैं, और यह भी कि (संभावित रूप से अत्यंत सूक्ष्म) कार्डियक सीमा के संदर्भ में सब कुछ फिर से लिखने के "पर्दे के पीछे" का ख्याल रख रहे हैं। ZFC में ही। तो यह ZFC में कठिन कार्डिनल अनुमानों वाले तर्कों के लिए एक उच्च-स्तरीय प्रोग्रामिंग भाषा की तरह है।
इसके अलावा, यह स्थिरता शक्ति में वृद्धि नहीं करता है, और वास्तव में इस भाषा में साबित किए गए ZFC के कोई भी कथन ZFC के प्रमेय हैं। (जैसा कि ऊपर याद किया गया है, हम ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के साथ भी) a + b हो सकते हैं, लेकिन फिर एक महलो कार्डिनल की संगति तक चलेगा।)
इसलिए, मुझे लगता है कि Feferman के ब्रह्माण्ड एक बड़े सिद्धांत के बारे में "बड़ी श्रेणियों के बारे में बात करने के रूप में यदि वे छोटे थे" Grothendieck ब्रह्मांडों की तुलना में एक मेटा-सिद्धांत प्रदान करने की समस्या को हल करने में बहुत बेहतर काम करते हैं।
प्रश्न पूछने के लिए मुझे कुछ अंतिम कारण जोड़ना चाहिए। मुझे लगता है कि उच्च-श्रेणीबद्ध तकनीकें जैसे एचटीटी में रखी गईं बहुत ही केंद्रीय महत्व की हैं, न कि केवल बीजीय टोपोलॉजी में, जहां वे उत्पन्न हुई थीं, लेकिन गणित के सभी में। मैं निश्चित रूप से संख्या सिद्धांत और बीजीय ज्यामिति के संबंध में उस पर ध्यान दे सकता हूं। तो उनकी केंद्रीयता भी उनकी स्थिरता शक्ति का विश्लेषण करने का एक महत्वपूर्ण कारण है।
HTT को पढ़ना एक बहुत ही मामूली मामला है - यह लंबा और जटिल है। कुछ संख्या सिद्धांत सहयोगियों ने हालांकि यह बताया है कि एचटीटी नहीं पढ़ पाने वाले प्राथमिक कारणों में से एक यह है कि यह ब्रह्मांड का उपयोग करता है । अर्थात्, वे ZFC के लिए उपयोग किए जाते हैं (और अत्यधिक देखभाल के साथ जांच करने के लिए!) कि वे स्वचालित रूप से एक तर्क में ब्रह्मांड के किसी भी उपयोग को खत्म करने की कोशिश करेंगे। अब SGA में, कम से कम यदि आप केवल उचित योजनाओं के etale cohomology के अनुप्रयोगों में रुचि रखते हैं, तो यह कुछ ऐसा था जिसे आप हाथ से कर सकते हैं - उदाहरण के लिए, बस चीजों को छोटा करने के लिए कुछ अस्थिरता मान्यताओं को जोड़ें। हालांकि, एचटीटी में मुझे ऐसा कोई तरीका नहीं दिखता है कि कोई आपके साथ पढ़ते समय कार्डिनल सीमा डाल सके - इसके लिए तर्क बहुत जटिल हैं।
इसलिए अब मुझे उम्मीद है कि मैं उन्हें बता सकता हूं कि वे जांच कर सकते हैं कि सब कुछ ZFC में काम करता है, और वे अभी भी लिखित रूप में HTT (अनिवार्य रूप से) पढ़ सकते हैं, अगर वे इसे Feferman के सेट सिद्धांत में पढ़ते हैं। यदि वे ध्यान से जांच (जो वे करेंगे), वे अभी भी यहाँ एक छोटे से नींबू में भरने के लिए और वहाँ कुछ छोटे अतिरिक्त तर्क की आवश्यकता हो सकती है - लेकिन वे ~ 1000 पृष्ठों की किसी भी किताब में, वैसे भी ऐसा करना होगा, और मैं कल्पना कर सकते हैं इनमें से आधे से भी कम लोगों की टिप्पणियों का श्रेय फेफरमैन के "ब्रह्मांड" द्वारा ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों की जगह लेने से है। क्या किसी को वास्तव में उस परियोजना को पूरा करना चाहिए, निश्चित रूप से वे इस महत्वपूर्ण कार्य में सफल होने पर पूरा श्रेय पाने के लायक हैं!
मुझे लगता है कि Feferman के सिद्धांत में अनुवाद में प्रमुख मुख्य बिंदु प्रतीत होता है पर एक बहुत ही संक्षिप्त नोट के साथ समाप्त होता है। मैं उस बिंदु की सराहना करने के लिए आया था जो टिम कैंपियन ने अपने उत्तर में उठाया था, और अब मैं देखता हूं कि जैकब लुरी के दूसरे उत्तर में भी इसका उल्लेख किया गया था। मोटे तौर पर, यह निम्नलिखित है। अगर$C$ एक प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी है, तो कुछ छोटी श्रेणी है $C_0$ ऐसा है कि $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
कुछ नियमित कार्डिनल के लिए $\kappa$, स्वतंत्र रूप से सभी छोटे से सटे $\kappa$-फिल्ड कॉलिमिट्स। यह बनाता है$C$ स्वाभाविक रूप से एक संघ $C_\tau$कहाँ है $C_\tau$ केवल एकत्र करता है $\tau$छोटे $\kappa$-फिल्ड कॉलिमिट्स। यहाँ$\tau$ एक नियमित कार्डिनल है जो $\tau\gg \kappa$। की बढ़ती संरचना$C$ के मिलन के रूप में $C_\tau$प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों के सिद्धांत में केंद्रीय है, लेकिन स्तरों को वास्तव में (निश्चित) नियमित कार्डिनल्स द्वारा गणना की जाती है $\tau$। यदि आप अपने ब्रह्मांड को बढ़ाते हैं, तो आपको एक बड़ा संस्करण भी मिलता है$C'$ का $C$ खुद, और ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में $C$ अब अच्छी परतों में से एक है $C'_\tau$ का $C$, कहां है $\tau$पिछले ब्रह्मांड का कटऑफ कार्डिनल है। लेकिन फेफरमैन के ब्रह्मांड में, यह$\tau$नियमित नहीं है। यह कुछ तर्कों को अधिक सूक्ष्म बना सकता है, लेकिन मैं उम्मीद करूंगा कि कोई भी आमतौर पर केवल एम्बेड करके इस मुद्दे को हल कर सकता है$C$ कुछ में $C'_\tau$ साथ से $\tau$ कुछ नियमित कार्डिनल छोटे ब्रह्मांड के कटऑफ कार्डिनल से बड़े होते हैं।
एडिट के जवाब में कि किन चीजों में कार्डिनल शामिल होते हैं, एक औपचारिक प्रणाली के नीचे हैं $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$:
मैं शायद एक और अधिक बीमार अंग पर बाहर जा रहा हूं और भविष्यवाणी करता हूं कि इस औपचारिक प्रणाली में अध्याय 1-4 को फिट करने के लिए, कोई वास्तविक कार्डिनल अंकगणित आवश्यक नहीं होगा। बल्कि, पुस्तक के इस भाग के लिए, आपको बस इतना करना होगा कि फॉर्म के विभिन्न प्रमेय कथनों की परिकल्पनाओं से जोड़ें:$X$ है $\kappa_{-1}$-स्मॉल "। आख़िरकार, पुस्तक का यह हिस्सा वास्तव में केवल छोटी वस्तुओं से संबंधित है, कुछ विशेष बड़ी वस्तुओं के अपवाद के रूप में जैसे कि छोटे सरल सेट की श्रेणी, छोटे सरल श्रेणियों की श्रेणी, और जैसी चीजें। स्लाइस श्रेणियों में। विभिन्न मॉडल संरचनाओं का निर्माण किया जाता है, लेकिन मेरा मानना है कि प्रत्येक मामले में किसी को भी छोटे ऑब्जेक्ट तर्क के विशेष मामले का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है ताकि बारी-बारी से मौजूद वस्तुओं के बीच कोफ़िब्रेशन / एसाइक्लिक कॉफ़िब्रेशन उत्पन्न किया जा सके, इसलिए किसी भी ट्रांसफ़ेक्टिव इंडक्शन की आवश्यकता नहीं है। इसके चेहरे पर, स्ट्रेटनिंग / अनसर्टनिंग में कंस्ट्रक्शन की नज़र होती है, जो कि सेट थ्योरी को गंभीर तरीकों से इस्तेमाल कर सकते हैं। लेकिन मैं आगे जाकर यह अनुमान लगाने जा रहा हूँ कि वे प्रस्तावित औपचारिक प्रणाली में कोई समस्या पेश नहीं करते हैं।
अध्याय 5 अधिक कष्टप्रद हो जाता है। मेरा मानना है कि किसी को प्रेजेंटेबल के मूल प्रमेयों के बारे में कुछ सावधानी से चुनाव करना होगा ($\infty$)-श्रेणियाँ। प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियाँ जो बनाती है वह यह है कि वे निकटवर्ती फफूंद प्रमेय को बहुत सफाई से पैकेज करती हैं, लेकिन जैसा कि आप कहते हैं, साधारण सहायक फफूंद प्रमेय इस सेटिंग में कैविएट्स के साथ आता है। मैं यह कहने के लिए इतनी दूर जा सकता हूं कि पहली जगह में प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों के बारे में सोचने का पूरा बिंदु इस सेटिंग में पूरी तरह से पूर्ववत है। आप बुनियादी चीजों को साबित नहीं कर पाएंगे, जैसे "प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियां सटीक रूप से प्रिज़िफ़ श्रेणियों के सुलभ स्थानीयकरण हैं"। मैं अनुमान लगाता हूं कि इस सेटिंग में मौजूद श्रेणियों के मुख्य प्रमेयों के कमजोर संस्करणों को तैयार करने के बारे में जो भी विकल्प हैं, उनमें कुछ अनुप्रयोग या संभावित अनुप्रयोग होंगे जो ग्रस्त हैं।
अध्याय 5 और 6 में विशेष रूप से बहुत बड़ी श्रेणियों जैसे कि के बारे में कुछ प्रमेय शामिल हैं $\infty$-प्रस्तुत करने योग्य $\infty$-श्रेणी और $\infty$की श्रेणी $\infty$-टॉपोई [१]। सिस्टम ऐसा प्रतीत होता है कि यह वास्तव में प्रति मुद्दा नहीं होगा , सिवाय इसके कि बुनियादी प्रस्तुतिकरण सिद्धांत में सामने आने वाले मुद्दे अब जटिल हो जाएंगे। आप यह साबित नहीं कर पाएंगे$Pr^L$ के लिए दोहरी है $Pr^R$। आप जीरुद की प्रमेय को साबित नहीं कर पाएंगे (ठीक है, परिभाषाएँ वैसे भी प्रवाह में आने वाली हैं, इसलिए मुझे स्पष्ट करना चाहिए: आप यह साबित करने में सक्षम नहीं होंगे कि बचे हुए सुगम स्थानों के बचे हुए स्थान स्थानीय रूप से छोटे हैं। पूर्णता, पीढ़ी, और सटीकता की स्थितियों की संतोषजनक सूची वाली श्रेणियां)। तो किसी भी प्रमेय के बारे में$\infty$-टॉपोई जिसका प्रमाण प्रिहीफ केस से शुरू होता है और फिर स्थानीयकरण को पूरी तरह से फिर से विचार करना होगा।
हो सकता है कि मैं यहां ऑफ-बेस हूं, लेकिन मेरा मानना है कि अध्याय 5 और 6 के लिए महत्वपूर्ण अतिरिक्त कार्य और वास्तव में नए गणितीय विचारों की आवश्यकता होगी, और इसका परिणाम एक सिद्धांत होगा जो उपयोग करने के लिए काफी कठिन है।
इसके विपरीत, मुझे लगता है कि यदि आप बड़ी श्रेणियों पर ध्यान देने को तैयार हैं, जो छोटे मापदंडों से निश्चित हैं, तो हालांकि आपको यह कहने की सुंदर क्षमता याद आ रही है "हमने इसे छोटी श्रेणियों के लिए सिद्ध किया है लेकिन अब हम इसे बड़े स्तर पर लागू कर सकते हैं "", आप ZFC को छोड़े बिना, प्रस्तुतिकरण के बहुत अधिक प्रयोग करने योग्य सिद्धांत के साथ समाप्त करेंगे।
[१] वास्तव में, सामान्य तौर पर पाया जाता है कि ये श्रेणियां (समतुल्यता तक) केवल बड़ी हैं और बहुत बड़ी नहीं हैं (अधिक सटीक रूप से, वे हैं $\kappa_0$-मनी वस्तुएं और $\kappa_0$) क्या अब भी इस औपचारिक प्रणाली में ऐसा ही होगा? मुझे यकीन नहीं है।
EDIT: पीटर शोल्ज़ के जवाब के जवाब में एक लंबी टिप्पणी ।
मुझे सिर्फ एक बात का एहसास है कि अगर$\kappa_0$ नहीं है कोई $\beth$-प्रकाशित-बिंदु, फिर हर सेट में नहीं $V_{\kappa_0}$ कार्डिनैलिटी है $<\kappa_0$, ताकि "लघुता" की धारणा कई गुना हो। खुशी से, मुझे लगता है कि आपकी औपचारिक प्रणाली यह साबित करती है$V_{\kappa_0}$ है $\Sigma_1$-सुधार, जिसका अर्थ है कि यह एक है $\beth$-नियत बिन्दु। संकट टली!
शायद एक "ब्रह्मांड सेटिंग" के भीतर निश्चित रूप से परिकल्पनाओं का उपयोग करते हुए व्यवस्थित रूप से यह दृष्टिकोण "दोनों दुनिया के सर्वश्रेष्ठ" का संयोजन होगा। एक अच्छी बात यह है कि भले ही आप स्पष्ट रूप से मेटामैटामिकल परिकल्पनाओं का उपयोग कर रहे हों, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है कि आप अभी भी स्कीमा के बजाय इन प्रमेयों को एकल प्रमेय के रूप में बता सकते हैं।
मैं प्रस्ताव ५.२.६.३ के बारे में थोड़ा भ्रमित हूं (आप जिस पर चर्चा करते हैं, और आसन्न फफूंद प्रमेय का एक बच्चा संस्करण)। मुझे लगता है कि निर्धारित श्रेणी$P(C)$ उन फंक्शनलर्स को समाहित करने के लिए परिभाषित किया जाएगा $C^{op} \to Spaces$ जो झूठ बोलते हैं $Def(V_{\kappa_0})$। जब हम एक बड़े ब्रह्मांड से गुजरते हैं, तो संक्रमण आमतौर पर बहुत सहज होता है, क्योंकि हम उम्मीद करते हैं$P(C)$ सभी कॉलिमिट्स को अनुक्रमित करना है $\kappa_0$-स्मॉल श्रेणियां - साथ काम करने के लिए एक पूरी तरह से प्राकृतिक संपत्ति $V_{\kappa_1}$। वास्तव में, Lurie के 5.2.6.3 के प्रमाण का पहला चरण यह दिखाना है कि इस तथ्य का उपयोग करते हुए एक बाएं सहायक मौजूद है$P(C)$सभी छोटे कोलिमिट्स हैं [2]। हालाँकि, वर्तमान सेटिंग में हम यह कभी नहीं मान सकते हैं$\kappa_0$ नियमित है, और इसलिए हम ऐसा कभी नहीं मान सकते $P(C)$सभी छोटे कोलिमिट्स हैं। हम कह सकते हैं सबसे अच्छा है$V_{\kappa_0}$ सोचते $P(C)$सभी छोटे कोलिमिट्स हैं। जब तक हम काम कर रहे हैं$V_{\kappa_0}$यह संपत्ति "बस के रूप में अच्छा है" वास्तव में सभी छोटे colimits होने के रूप में। लेकिन जब हम ऊपर जाते हैं$V_{\kappa_1}$, अचानक हमें इसके बारे में सोचना है कि यह क्या है - एक मेटामैटमैटिक प्रॉपर्टी। शायद बाद में मैं बैठकर यह देखने की कोशिश करूंगा कि क्या इस सेटिंग में काम करने के लिए Lurie का 5.2.6.3 का प्रमाण बनाया जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह प्रथम दृष्टया स्पष्ट नहीं है।
[२] केवल इस तरह से अस्तित्व को सत्यापित करने के बाद ही वह दिखाता है कि बाईं ओर का संकेत दिया गया फ़नकार होना चाहिए। बेशक, यह पैंतरेबाज़ी वास्तव में एक अतिरिक्त जटिलता है जो इसके साथ आती है$\infty$श्रेणीबद्ध सेटिंग - सामान्य श्रेणियों में दो फ़ंक्शनलर्स के लिए फ़ार्मुलों को सीधे स्थगित किए जाने के लिए सत्यापित किया जा सकता है, लेकिन $\infty$-शरीरें बाईं बगल के लिए सूत्र स्पष्ट रूप से functorial नहीं है।