USAMO समस्या संकेत।
सिद्ध करें कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n में 5 से विभाज्य n-अंक मौजूद है$^n$जिनके सभी अंक विषम हैं।
यूएसओएमओ 2003।
यह पहली बार है जब मैंने इस तरह की समस्या देखी है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि क्या करना है, प्रेरण, निर्माण, छोटे मामलों की जांच करना, विरोधाभास कुछ चीजें हैं जो मैंने कोशिश की हैं।
मुझे पता है कि मैं आसानी से कहीं भी समाधान पा सकता हूं, लेकिन मैं एक समाधान नहीं देखना चाहता हूं, इसलिए कृपया HINTS दें ।
मैंने एक समाधान पोस्ट किया है https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution यहाँ, कृपया इसे देखें।
कृपया पूर्ण समाधान न दें, किसी भी संकेत की सराहना की जाएगी।
जवाब
संकेत: लुलु की टिप्पणी के बाद, मान लीजिए कि आपने एक संख्या बनाई है $N$ साथ में $n-1$ द्वारा विभाजित अजीब अंक $5^{n-1}$। आइए इस नंबर को लिखें$N = p\cdot5^{n-1}$। फिर आप एक विषम अंक प्राप्त करना चाहते हैं$a$ ऐसा है कि $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ कुछ पूर्णांक के लिए $k > 0$। यह सच है iff$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$। लिख रहे हैं$a = 2m+1$, क्या आप साबित कर सकते हैं कि हम हमेशा पा सकते हैं $m$? भी$m$ मॉड है $5$, और इसलिए $a$ एक अंक है।
आधार मामला स्पष्ट है।