확률 집합 이론 질문

Question

다음 문제에 대해 작업 중이지만 방법을 파악하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

Q : A와 B를 샘플 공간 S에서 두 개의 임의의 이벤트로 간주합니다. 반례를 증명하거나 제공합니다.

만약 $P(A^c) = P(B) - P(A \cap B)$ 그때 $P(B) = 1$

벤 다이어그램 그리기 나는 이것이 어떻게 사실인지 볼 수 있습니다. $A \subset B$, 그러나 이것을 공식적으로 증명하는 방법을 모르겠습니다. 어떤 도움이라도 좋을 것입니다!

Answer 1

허락하다 $P$ 통일하다 $S=\{1,2,3\}$ 그리고하자 $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}$.

$P(A \cap B) = P \{2\} = {1 \over 3}$. $P(B) = P \{2,3\} = {2 \over 3}$. $P(A^c) = P \{3\} = {1 \over 3}$.

따라서 방정식은 유지되지만 $P(B) \neq 1$.

실제로 결론을 내릴 수있는 것은 $P (A \cup B)^c = 0$.

Answer 2

사실이 아니다. 만약$A^c\subseteq B$, 다음 $B-A\cap B=A^c$, 그래서 $P(A^c)=P(B)-P(A\cap B)$ 어떠한 것도 $B$. 이것은 이후로 유지됩니다.$A^c$ 과 $A\cap B$ 상호 배타적이며 합산 $B$.

Answer 3

벤 다이어그램 그리기 나는 이것이 어떻게 사실인지 볼 수 있습니다. $A \subset B$, 그러나 이것을 공식적으로 증명하는 방법을 모르겠습니다. 어떤 도움이라도 좋을 것입니다!

아니. (오타가없는 경우)

$$\begin{align}\mathsf P(A^{\small\complement})&= \mathsf P(B)-\mathsf P(A\cap B) \\[1ex]&=\mathsf P(B)-\mathsf P(B)\,\mathsf P(A\mid B)\\[1ex]&=\mathsf P(B)\,\big(1-\mathsf P(A\mid B)\big)\\[1ex]&=\mathsf P(B)\,\mathsf P(A^{\small\complement}\mid B)\\[1ex]&=\mathsf P(A^{\small\complement}\cap B)\end{align}$$ 따라서 진술은 $A^{\small\complement}\cap B^{\small\complement}$널 세트하지 않은 (이다 확실히 그$A^{\small\complement}\subseteq B$ ).

그것은 단지 그것을 수반합니다 $\mathsf P(B)=1~~$ 언제 $~~0<\mathsf P(A^{\small\complement})=\mathsf P(A^{\small\complement}\mid B)$,….