DSP - DFT Circular Convolution
Weźmy dwie sekwencje o skończonym czasie trwania x 1 (n) i x 2 (n), o długości całkowitej równej N. Ich DFT to odpowiednio X 1 (K) i X 2 (K), co pokazano poniżej -
$$ X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1 $$ $$ X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1 $$Teraz spróbujemy znaleźć DFT innej sekwencji x 3 (n), która jest podana jako X 3 (K)
$ X_3 (K) = X_1 (K) \ razy X_2 (K) $
Biorąc IDFT powyższego otrzymujemy
$ x_3 (n) = \ Frac {1} {N} \ Displaystyle \ suma \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ Frac {j2 \ Pi kn} {N}} $
Po rozwiązaniu powyższego równania w końcu otrzymujemy
$ x_3 (n) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1 $
| Punkty porównawcze | Konwolucja liniowa | Okrągły splot |
|---|---|---|
| Przeniesienie | Przesunięcie liniowe | Przerzutki kołowe |
| Próbki w wyniku splotu | $ N_1 + N_2−1 $ | $ Max (N_1, N_2) $ |
| Znajdowanie odpowiedzi filtra | Możliwy | Możliwe z wypełnieniem zerowym |
Metody konwolucji kołowej
Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwie metody, które są przystosowane do wykonywania splotów kołowych i są to:
- Metoda koła koncentrycznego,
- Metoda mnożenia macierzy.
Metoda koła koncentrycznego
Niech $ x_1 (n) $ i $ x_2 (n) $ będą dwoma danymi ciągami. Kroki wykonane dla splotu kołowego $ x_1 (n) $ i $ x_2 (n) $ są następujące
Weź dwa koncentryczne okręgi. Wykreślić N próbek $ x_1 (n) $ na obwodzie zewnętrznego koła (zachowując równe odległości kolejnych punktów) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Aby wykreślić $ x_2 (n) $, wykreśl N próbek o wartości $ x_2 (n) $ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara na wewnętrznym okręgu, rozpoczynając próbkę umieszczoną w tym samym punkcie co 0- ta próbka o wartości $ x_1 (n) $
Pomnóż odpowiednie próbki w dwóch kółkach i dodaj je, aby uzyskać wynik.
Obróć wewnętrzne koło w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z jedną próbką na raz.
Metoda mnożenia macierzy
Metoda macierzowa reprezentuje dwie podane sekwencje $ x_1 (n) $ i $ x_2 (n) $ w postaci macierzowej.
Jedna z podanych sekwencji jest powtarzana poprzez przesunięcie cykliczne jednej próbki na raz w celu utworzenia macierzy NXN.
Druga sekwencja jest reprezentowana jako macierz kolumn.
Mnożenie dwóch macierzy daje wynik splotu kołowego.