Cyfrowe przetwarzanie sygnału - wprowadzenie do DFT

Podobnie jak ciągła transformata Fouriera sygnału czasu, dyskretna transformata Fouriera w czasie może być używana do reprezentowania dyskretnej sekwencji w jej równoważnej reprezentacji w dziedzinie częstotliwości i dyskretnego systemu czasu LTI oraz do opracowywania różnych algorytmów obliczeniowych.

X (jω) w ciągłym FT jest ciągłą funkcją x (n). Jednak DFT zajmuje się reprezentowaniem x (n) próbkami swojego widma X (ω). Dlatego to narzędzie matematyczne ma duże znaczenie obliczeniowe w wygodnej reprezentacji. Za pomocą tego narzędzia można przetwarzać zarówno sekwencje okresowe, jak i nieokresowe. Sekwencje okresowe należy próbkować, wydłużając okres do nieskończoności.

Próbkowanie w dziedzinie częstotliwości

Od wprowadzenia jest jasne, że musimy wiedzieć, jak przejść przez próbkowanie w dziedzinie częstotliwości, tj. Próbkowanie X (ω). W związku z tym związek między próbkowaną transformatą Fouriera a DFT jest ustalany w następujący sposób.

Podobnie, okresowe sekwencje można dopasować do tego narzędzia, wydłużając okres N do nieskończoności.

Niech sekwencja nieokresowa będzie, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Definiowanie jego transformaty Fouriera,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Tutaj X (ω) jest próbkowany okresowo, w każdym przedziale radianowym δω.

Ponieważ X (ω) jest okresowy w 2π radianach, potrzebujemy próbek tylko w zakresie podstawowym. Próbki pobiera się w jednakowo odległych odstępach w zakresie częstotliwości 0≤ω≤2π. Odstępy między równoważnymi przedziałami wynoszą $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

Teraz oceniam, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

gdzie k = 0,1, …… N-1

Po podzieleniu powyższych i zamianie kolejności sumowania

$ X (\ Frac {2 \ pi} {N} k) = \ Displaystyle \ sum \ limity_ {n = 0} ^ {N-1} [\ Displaystyle \ suma \ limity_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

gdzie, n = 0,1,… .., N-1; „p” - oznacza okresową jednostkę lub funkcję

Współczynniki Fouriera to:

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

Porównując równania 3 i 4, otrzymujemy;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ Frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

Z rozszerzenia serii Fouriera,

$ x_p (n) = \ Frac {1} {N} \ Displaystyle \ suma \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ Frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Gdzie n = 0,1,…, N-1

Tutaj otrzymaliśmy okresowy sygnał z X (ω). $ x (n) $ można wyodrębnić z $ x_p (n) $ tylko wtedy, gdy w dziedzinie czasu nie ma aliasingu. $ N \ geq L $

N = okres $ x_p (n) $ L = okres $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Otherwise \ end {cases} $

W ten sposób uzyskuje się mapowanie.

Właściwości DFT

Liniowość

Stwierdza, że DFT kombinacji sygnałów jest równy sumie DFT poszczególnych sygnałów. Weźmy dwa sygnały x ₁ (n) i x ₂ (n), których DFT s to odpowiednio X ₁ (ω) i X ₂ (ω). Więc jeśli

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ i $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Następnie $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

gdzie a i b są stałymi.

Symetria

Właściwości symetrii DFT można wyprowadzić w podobny sposób, jak wyprowadziliśmy właściwości symetrii DTFT. Wiemy, że DFT ciągu x (n) jest oznaczony przez X (K). Teraz, jeśli x (n) i X (K) są ciągami o wartościach zespolonych, to można to przedstawić jako pod

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ równoważnik N-1 $

I $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Własność dwoistości

Rozważmy sygnał x (n), którego DFT jest podana jako X (K). Niech skończona sekwencja czasu trwania będzie X (N). Następnie zgodnie z twierdzeniem o dualności

Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Wtedy $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Tak więc, używając tego twierdzenia, jeśli znamy DFT, możemy łatwo znaleźć ciąg o skończonym czasie trwania.

Złożone właściwości sprzężone

Załóżmy, że istnieje sygnał x (n), którego DFT jest nam również znane jako X (K). Teraz, jeśli sprzężenie zespolone sygnału jest podane jako x * (n), wówczas możemy łatwo znaleźć DFT bez wykonywania wielu obliczeń, używając twierdzenia pokazanego poniżej.

Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Wtedy $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Kołowe przesunięcie częstotliwości

Mnożenie ciągu x (n) ze złożonym ciągiem wykładniczym $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ jest równoważne cyklicznemu przesunięciu DFT o L jednostek częstotliwości. Jest to podwójna właściwość przesunięcia w czasie w trybie kołowym.

Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Następnie $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Mnożenie dwóch sekwencji

Jeśli istnieją dwa sygnały x ₁ (n) i x ₂ (n), a ich odpowiednie współczynniki DFT wynoszą X ₁ (k) i X ₂ (K), to mnożenie sygnałów w sekwencji czasowej odpowiada kołowemu splotowi ich DFT.

Jeśli $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Twierdzenie Parsevala

Ogólnie dla sekwencji o wartościach zespolonych x (n) i y (n)

Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Następnie $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $