DSP - odwrotna transformacja Z
Jeśli chcemy przeanalizować system, który jest już reprezentowany w dziedzinie częstotliwości jako dyskretny sygnał czasu, to przechodzimy do odwrotnej transformacji Z.
Matematycznie można to przedstawić jako;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$gdzie x (n) jest sygnałem w dziedzinie czasu, a X (Z) jest sygnałem w dziedzinie częstotliwości.
Jeśli chcemy przedstawić powyższe równanie w formacie całkowym, możemy zapisać je jako
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Tutaj całka znajduje się po zamkniętej ścieżce C. Ta ścieżka znajduje się wewnątrz ROC x (z) i zawiera początek.
Metody znajdowania odwrotnej transformacji Z.
Gdy potrzebna jest analiza w formacie dyskretnym, konwertujemy sygnał w dziedzinie częstotliwości z powrotem na format dyskretny poprzez odwrotną transformację Z. Postępujemy zgodnie z następującymi czterema sposobami określenia odwrotnej transformacji Z.
- Metoda długiego podziału
- Metoda częściowego rozszerzania frakcji
- Metoda całkowa resztkowa lub konturowa
Metoda długiego podziału
W tej metodzie transformację Z sygnału x (z) można przedstawić jako stosunek wielomianu, jak pokazano poniżej;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Jeśli teraz podzielimy licznik przez mianownik, otrzymamy szereg, jak pokazano poniżej
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$Powyższa sekwencja reprezentuje serię odwrotnej transformacji Z danego sygnału (dla n≥0), a powyższy układ jest przyczynowy.
Jednak dla n <0 szereg można zapisać jako;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Metoda częściowego powiększania frakcji
Tutaj również sygnał jest najpierw wyrażany w postaci N (z) / D (z).
Jeśli jest to ułamek racjonalny, zostanie przedstawiony w następujący sposób;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Powyższy jest nieprawidłowy, gdy m <n i an ≠ 0
Jeśli stosunek nie jest właściwy (tj. Niewłaściwy), to musimy go przekonwertować na odpowiednią postać, aby go rozwiązać.
Metoda całkowania pozostałości lub konturu
W tej metodzie otrzymujemy odwrotną transformację Z x (n), sumując reszty $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ na wszystkich biegunach. Matematycznie można to wyrazić jako
$$ x (n) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {wszystkie \ quad bieguny \ quad X (z)} reszty \ quad z [x (z) Z ^ {n-1}] $$Tutaj reszta dla dowolnego bieguna rzędu m przy $ z = \ beta $ wynosi
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$