Cyfrowe przetwarzanie sygnału - systemy liniowe

System liniowy podlega prawom superpozycji. Prawo to jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do udowodnienia liniowości układu. Poza tym system jest połączeniem dwóch rodzajów praw -

Prawo addytywności
Prawo jednorodności

Na powyższych rysunkach pokazano zarówno prawo jednorodności, jak i prawo addytywności. Istnieją jednak inne warunki, aby sprawdzić, czy system jest liniowy, czy nie.

The conditions are -

Wyjście powinno wynosić zero dla zerowego wejścia.
W systemie nie powinno być żadnych operatorów nieliniowych.

Przykłady operatorów nieliniowych -

(a) Operatory trygonometryczne - Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Cosec itp.

(b) Wykładniczy, logarytmiczny, moduł, kwadrat, sześcian itp.

Ani wejście x, ani wyjście y nie powinny mieć tych operatorów nieliniowych.

Przykłady

Sprawdźmy, czy poniższe układy są liniowe.

a) $y(t) = x(t)+3$

Ten system nie jest systemem liniowym, ponieważ narusza pierwszy warunek. Jeśli ustawimy wejście na zero, dzięki czemu x (t) = 0, to wynik nie będzie zerowy.

b) $y(t) = \sin tx(t)$

W tym systemie, jeśli damy wejście jako zero, wyjście będzie równe zero. Stąd pierwszy warunek jest wyraźnie spełniony. Ponownie, nie ma operatora nieliniowego, który zostałby zastosowany do x (t). Zatem drugi warunek jest również spełniony. Dlatego system jest systemem liniowym.

c) $y(t) = \sin (x(t))$

W powyższym systemie pierwszy warunek jest spełniony, ponieważ jeśli wstawimy x (t) = 0, na wyjściu również będzie sin (0) = 0. Jednak drugi warunek nie jest spełniony, ponieważ istnieje operator nieliniowy, który działa x (t). Dlatego system nie jest liniowy.