DSP - istnienie transformacji Z

System, który pełni funkcję systemową, może być stabilny tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny leżą wewnątrz okręgu jednostkowego. Najpierw sprawdzamy, czy system jest przyczynowy, czy nie. Jeśli system jest przyczynowy, to idziemy do jego określenia stabilności BIBO; gdzie stabilność BIBO odnosi się do ograniczonego wejścia dla ograniczonego warunku wyjściowego.

Można to zapisać jako;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

Powyższe równanie pokazuje warunek istnienia transformacji Z.

Jednak warunkiem istnienia sygnału DTFT jest

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Przykład 1

Spróbujmy znaleźć transformację Z sygnału, która jest podana jako

$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Tutaj dla $ - (- 2) ^ nu (n) $ ROC jest lewostronny i Z <2

Dla $ 3 ^ nu (n) $ ROC jest prawostronne i Z> 3

Stąd tutaj transformacja Z sygnału nie będzie istnieć, ponieważ nie ma wspólnego regionu.

Przykład 2

Spróbujmy znaleźć transformację Z sygnału podanego przez

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $

Solution - Tutaj, dla $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC sygnału jest lewostronne i Z <2

Dla sygnału $ (0,5) ^ nu (n) $ ROC jest prawostronne, a Z> 0,5

Tak więc wspólny ROC jest tworzony jako 0,5 <Z <2

Dlatego transformację Z można zapisać jako;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0,5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Przykład 3

Spróbujmy znaleźć transformację Z sygnału, która jest podana jako $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) jest sygnałem rampy. Zatem sygnał można zapisać jako;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad i \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Tutaj dla sygnału $ u (-n-1) $ i ROC Z <1, a dla $ 2 ^ nu (n) $ z ROC wynosi Z> 2.

Tak więc transformacja Z sygnału nie będzie istnieć.

Z - Transformacja dla systemu przyczynowego

System przyczynowy można zdefiniować jako $ h (n) = 0, n <0 $. W przypadku systemu przyczynowego ROC będzie poza okręgiem w płaszczyźnie Z.

$ H (Z) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

Rozwinięcie powyższego równania,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

W przypadku układów przyczynowych rozwinięcie Funkcji Transferu nie obejmuje dodatnich potęg Z. Dla układu przyczynowego rząd licznika nie może przekraczać rzędu mianownika. Można to zapisać jako-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad lub \ quad Finite $

Dla stabilności układu przyczynowego bieguny funkcji Transfer powinny znajdować się wewnątrz koła jednostkowego w płaszczyźnie Z.

Przekształcenie Z dla systemu anty-przyczynowego

System anty-przyczynowy można zdefiniować jako $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. W przypadku systemu antyprzyczynowego bieguny funkcji transferu powinny leżeć poza okręgiem jednostkowym w płaszczyźnie Z. W przypadku systemu anty-przyczynowego ROC będzie wewnątrz koła w płaszczyźnie Z.