DSP - Filtrowanie liniowe DFT

DFT zapewnia alternatywne podejście do splotu w dziedzinie czasu. Może być używany do filtrowania liniowego w dziedzinie częstotliwości.

Zatem $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

Problem w tym podejściu w dziedzinie częstotliwości polega na tym, że $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ i $ H (\ omega) $ są ciągłą funkcją ω, co nie jest owocne dla obliczeń cyfrowych na komputerach. Jednak DFT zapewnia próbkowaną wersję tych przebiegów, aby rozwiązać ten cel.

Zaletą jest to, że mając wiedzę na temat szybszych technik DFT, takich jak FFT, można opracować bardziej wydajny obliczeniowo algorytm do cyfrowych obliczeń komputerowych w porównaniu z podejściem w dziedzinie czasu.

Rozważ sekwencję o skończonym czasie trwania, $ [x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad and \ quad n \ geq L] $ (uogólnione równanie), wzbudza filtr liniowy z odpowiedzią impulsową $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad i \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

Z analizy splotu jasno wynika, że ​​czas trwania y (n) wynosi L + M − 1.

W dziedzinie częstotliwości

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Teraz $ Y (\ omega) $ jest ciągłą funkcją ω i jest próbkowana w zbiorze dyskretnych częstotliwości z liczbą różnych próbek, które muszą być równe lub większe niż $ L + M-1 $.

$$ DFT \ quad size = N \ geq L + M-1 $$

Gdy $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, gdzie k = 0,1,…., N-1

Gdzie X (k) i H (k) to N-punktowe DFT odpowiednio x (n) i h (n). $ x (n) \ & h (n) $ są dopełniane zerami do długości N. Nie zniekształca to ciągłych widm $ X (\ omega) $ i $ H (\ omega) $. Ponieważ $ N \ geq L + M-1 $, N-punktowa DFT sekwencji wyjściowej y (n) jest wystarczająca do reprezentowania y (n) w dziedzinie częstotliwości, a fakty te wskazują, że mnożenie N-punktowych wartości DFT X (k ) i H (k), a następnie obliczenie N-punktowej IDFT musi dać y (n).

Oznacza to, że N-punktowy splot kołowy x (n) i H (n) z wypełnieniem zerowym, jest równy splotowi liniowemu x (n) ih (n).

Zatem DFT może być używany do filtrowania liniowego.

Caution- N powinno zawsze być większe lub równe $ L + M-1 $. W przeciwnym razie efekt aliasingu spowodowałby uszkodzenie sekwencji wyjściowej.