DSP - Z-Transform Wprowadzenie

Istnieje dyskretna transformata Fouriera w czasie (DTFT) dla sygnałów energii i mocy. Transformacja Z nie istnieje również dla sygnału typu energii ani mocy (NENP), tylko do pewnego stopnia. Zamiennik $ z = e ^ {jw} $ jest używany do konwersji Z-transformacji na DTFT tylko dla absolutnie sumowalnego sygnału.

Zatem transformację Z dyskretnego sygnału czasu x (n) w szeregu potęg można zapisać jako -

$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

Powyższe równanie przedstawia równanie dwustronnej transformacji Z.

Generalnie, gdy sygnał jest przekształcany w Z, można go przedstawić jako -

$$ X (Z) = Z [x (n)] $$

Lub $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $

Jeśli jest to ciągły sygnał czasu, transformacje Z nie są potrzebne, ponieważ używane są transformacje Laplace'a. Jednak dyskretne sygnały czasowe można analizować tylko za pomocą transformacji Z.

Region konwergencji

Region zbieżności to zakres zmiennej zespolonej Z w płaszczyźnie Z. Transformacja Z sygnału jest skończona lub zbieżna. Tak więc ROC reprezentuje ten zbiór wartości Z, dla których X (Z) ma skończoną wartość.

Właściwości ROC

• ROC nie obejmuje tyczki.
• Dla sygnału prawostronnego ROC będzie poza okręgiem w płaszczyźnie Z.
• Dla sygnału lewostronnego, ROC będzie wewnątrz koła w płaszczyźnie Z.
• Aby zapewnić stabilność, ROC zawiera koło jednostkowe w płaszczyźnie Z.
• Dla sygnału dwustronnego ROC jest pierścieniem w płaszczyźnie Z.
• Dla sygnału o skończonym czasie trwania ROC jest całą płaszczyzną Z.

Przekształcenie Z charakteryzuje się wyjątkowo:

• Wyrażenie X (Z)
• ROC z X (Z)

Sygnały i ich ROC

x (n)	X (Z)	ROC
$ \ delta (n) $	1 $	Cały samolot Z.
$ U (n) $	$ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $	Mod (Z)> 1
$ a ^ nu (n) $	$ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $	Mod (Z)> Mod (a)
$ -a ^ nu (-n-1) $	$ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $	Mod (Z) <Mod (a)
$ na ^ nu (n) $	$ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $	Mod (Z)> Mod (a)
$ -a ^ nu (-n-1) $	$ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $	Mod (Z) <Mod (a)
$ U (n) \ cos \ omega n $	$ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $	Mod (Z)> 1
$ U (n) \ sin \ omega n $	$ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $	Mod (Z)> 1

Przykład

Znajdźmy transformację Z i ROC sygnału podanego jako $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, gdzie początek szeregu jest na poziomie 3.

Solution - Stosowanie wzoru, który mamy -

$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $

$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $

$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $

ROC to cała płaszczyzna Z z wyłączeniem Z = 0, ∞, -∞