DSP - DFT Time Frequency Transform

Wiemy, że gdy $ \ omega = 2 \ pi K / N $ i $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ staje się zmienną ciągłą, a sumowanie granic zmienia się na $ - \ infty $ do $ + \ infty $.

W związku z tym,

$$ NC_k = X (\ Frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ Frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ Displaystyle \ suma \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$

Dyskretna transformata Fouriera w czasie (DTFT)

Wiemy, że $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $

Gdzie $ X (e ^ {j \ omega}) $ jest ciągłe i okresowe w ω z okresem 2π. … Eq (1)

Teraz,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Z szeregu Fouriera

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

ω staje się ciągła i $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, z powodów wymienionych powyżej.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Eq (2)

Odwrotna transformacja Fouriera w czasie dyskretnym

Symbolicznie,

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (Para transformacji Fouriera)

Konieczny i wystarczający warunek istnienia dyskretnej transformaty Fouriera w czasie dla nieokresowego ciągu x (n) jest bezwzględnie sumowalny.

czyli $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

Właściwości DTFT

  • Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

  • Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $

  • Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $

  • Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

  • Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Multiplication- $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

  • Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;

    $ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {parzysty} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ x_ {even} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;

    $ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

  • Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

Wcześniej badaliśmy próbkowanie w dziedzinie częstotliwości. Mając tę ​​podstawową wiedzę, próbkujemy $ X (e ^ {j \ omega}) $ w dziedzinie częstotliwości, aby z tych próbkowanych danych można było przeprowadzić wygodną analizę cyfrową. W związku z tym DFT jest próbkowany zarówno w dziedzinie czasu, jak i częstotliwości. Przy założeniu $ x (n) = x_p (n) $

Stąd DFT jest wyrażone przez -

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ Frac {2 \ pi} {N} k) = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)

A IDFT jest określane przez -

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)

$ \ więc x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

Twiddle Factor

Jest oznaczony jako $ W_N $ i zdefiniowany jako $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Jego wielkość jest zawsze utrzymywana w jedności. Faza $ W_N = -2 \ pi / N $. Jest to wektor na okręgu jednostkowym i jest używany dla wygody obliczeń. Matematycznie można to przedstawić jako -

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

  • Jest funkcją r i okresu N.

    Rozważmy N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

    $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $

  • $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

Transformacja liniowa

Zrozummy transformację liniową -

Wiemy to,

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n). W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $

Note- Obliczenie DFT można przeprowadzić stosując złożone mnożenie N 2 i dodawanie kompleksu N (N-1).

  • $ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sygnał poczwórny \ quad x_N $

  • $ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sygnał poczwórny \ quad X_N $

  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

    N - punkt DFT w członie macierzy jest określony wzorem - $ X_N = W_Nx_N $

    $ W_N \ longmapsto $ Macierz transformacji liniowej

    $ Teraz \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $

    IDFT w postaci macierzy jest podany przez

    $$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

    Porównanie obu wyrażeń $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ i $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $

    Dlatego $ W_N $ jest liniową macierzą transformacji, macierzą ortogonalną (unitarną).

    Z okresowej własności $ W_N $ i jej symetrycznej własności można wywnioskować, że $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

    Symetria kołowa

    N-punktowa DFT o skończonym czasie trwania x (n) długości N≤L, jest równoważna N-punktowej DFT okresowego przedłużenia x (n), tj. $ X_p (n) $ okresu N. i $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Teraz, jeśli przesuniemy ciąg, który jest ciągiem okresowym o k jednostek w prawo, otrzymamy kolejny ciąg okresowy. Jest to znane jako przesunięcie okrężne i jest określone przez,

    $$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

    Nowy ciąg skończony można przedstawić jako

    $$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Otherwise \ end {cases} $$

    Example - Niech x (n) = {1, 2, 4, 3}, N = 4,

    $ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2 tj. \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad i \ quad N = 4, $

    Przyjęto kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara jako kierunek dodatni.

    Otrzymaliśmy $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $

    $ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $

    $ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $

    $ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $

    $ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

    Conclusion - Przesunięcie kołowe ciągu N-punktowego jest równoważne liniowemu przesunięciu jego okresowego wydłużenia i odwrotnie.

    Cyklicznie parzysta sekwencja - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

    Sprzężona parzysta - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

    Cyklicznie nieparzysta sekwencja - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

    Sprzężone nieparzyste - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

    Teraz $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, gdzie,

    $ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

    $ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

    Dla dowolnego rzeczywistego sygnału x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

    $ X_R (k) = X_R (Nk) $

    $ X_l (k) = -X_l (Nk) $

    $ \ angle X (k) = - \ angle X (NK) $

    Time reversal- próbka odwrócona o próbce zerowej . Jest to podane jako;

    $ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ równoważnik N-1 $

    Odwrócenie czasu to wykreślanie próbek sekwencji w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, tj. Założonym kierunku ujemnym.

    Niektóre inne ważne właściwości

    Inne ważne właściwości IDFT $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

    • Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $

    • Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

    • Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

    • Complex conjugate properties -

      $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad i $

      $ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $

    • Multiplication of two sequence -

      $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad i \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

      $ \ więc x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

    • Circular convolution - i pomnożenie dwóch DFT

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

    • Circular correlation - Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ i $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, to istnieje sekwencja korelacji krzyżowej oznaczona jako $ \ bar Y_ {xy} $ taka, że ​​$ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

    • Parseval’s Theorem - Jeśli $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ i $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

      $ \ Displaystyle \ suma \ limity_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ Frac {1} {N} \ Displaystyle \ suma \ limit_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $