é qualquer função linear $C^\infty(M) \rightarrow \mathbb{R}$ uma velocidade?
Deixei $M$ uma variedade lisa, $C^\infty(M)$ é um espaço de funções suaves em $M$, $\gamma$ é uma curva $\mathbb{R}\rightarrow M$e $\gamma(\lambda_0)=p\in M$. Defina a velocidade de$\gamma$ em $p$ é o mapa linear $v_{\gamma,p}:C^\infty(M)\rightarrow \mathbb{R}$ Como $$v_{\gamma,p}(f):=(f\circ \gamma)'(\lambda_0)$$
É qualquer função linear $C^\infty(M) \rightarrow \mathbb{R}$uma velocidade? ou seja, para uma função linear arbitrária$\phi:C^\infty(M) \rightarrow \mathbb{R}$, podemos encontrar uma velocidade $v_{\gamma,p}$ de tal modo que $\phi=v_{\gamma,p}$. Se não, dê um exemplo.
Respostas
A resposta é não. Aquilo que faz "vetores de velocidade" (geralmente chamados de vetores tangentes ou derivações em$p$) único em comparação com qualquer funcional linear $C^\infty(M)\rightarrow\mathbb R$, é que a regra do produto foi satisfeita. $$v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)$$ Isso pode ser mostrado para qualquer $v_{\gamma,p}$você definiu usando a regra de produto regular para derivados na linha real. E, de fato, qualquer função linear que satisfaça a regra do produto deve ter a forma$v_{\gamma,p}$ para alguns $\gamma$.
Então, por exemplo, $f \mapsto f(p)$ é um funcional linear da forma exigida, mas não pode ser membro de $T_p M$.
A resposta é não. Você precisaria da regra de Leibniz também. Aqui estão alguns contra-exemplos fáceis. Deixei$M=\Bbb R$ e $p=0$. Levar$\phi(f) = f(0)$ ou $\phi(f) = f''(0)$. Ou porque não mesmo$\phi(f) = f(1)+f(0)$?