Probabilidade / Combinatória

Question

A questão é:

Uma urna contém 6 pretos e um número desconhecido ($\le6$) de bolas brancas. Três bolas são sorteadas uma a uma sem reposição e todas elas são consideradas brancas. Qual é a probabilidade de que a próxima bola sorteada seja preta?

Proponho a seguinte solução: Calculamos a probabilidade de que haja r bolas brancas na urna usando o Teorema de Bayes. Então isso será:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$onde f (r) denota a probabilidade de que sejam r bolas brancas. Agora, se suas bolas fossem r brancas, a probabilidade de que o próximo sorteio seja preto é$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, porque 3 bolas brancas já foram colhidas. Agora, para obter a probabilidade total de que a próxima bola sorteada seja preta, pode ser dado por:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

Esta abordagem está correta? A resposta obtida (eu calculei usando um script Python) corresponde em valor decimal com uma das opções ($\frac{677}{909})$que é igual a 0,744. Se estiver correto, gostaria de saber se existe uma forma mais elegante / menos calculista de abordar essa questão. Obrigado!

Answer 1

Sua resposta de ${\large{\frac{677}{909}}}$ está correto, assumindo como uma distribuição anterior que $r$ é igualmente provável que seja $0,1,2,3,4,5,6$.

Assim, se assumirmos, antes de desenhar o $3$ bolas, isso para cada $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, a probabilidade de que a urna contém $r$ bolas brancas são ${\large{\frac{1}{7}}}$, então para $r\in\{3,4,5,6\}$, a função $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$é a probabilidade condicional de que a urna inicialmente continha$r$ bolas brancas, visto que a primeira $3$ bolas desenhadas eram brancas.

O resto de sua análise está correto.