Prove limitado pelas normas da matriz

Question

Eu não posso provar o seguinte

\ begin {equation} \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ \ infty \ leq \ | A \ | _2 \ leq \ sqrt {n} \ | A \ | _ \ infty, \ fim {equação}

Onde $A$ é uma matriz quadrada de tamanho $n$.

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Minha tentativa:

Por definição $$|| A|| = \sup_{ ||x||_2=1} ||A x||_2$$

Então eu tenho:

$$\sqrt{\Bigl( \sum_j a_{1j}x_j \Bigr)^2 + \ldots + \Bigl(\sum_j a_{nj}x_j \Bigr)^2} \leq \sqrt{\Bigl(\sum_j |a_{1j}|^2 + \ldots + \sum_j |a_{nj}|^2 \Bigr) \sum_j |x_j|^2}$$

Portanto, assumindo o controle supremo $||x||_2=1$ Eu limitei a última expressão com $$\sqrt{\Bigl(\sum_j |a_{1j}|^2 + \ldots + \sum_j |a_{nj}|^2 \Bigr)}$$

Agora eu tenho isso $$\sum_j |a_{1j}| \leq \max_{i=1,\ldots,n} \sum_j |a_{ij}| = ||A||_{\infty}$$

Portanto, posso definir a última expressão com $\sqrt{n ||A||_{\infty}^2}=\sqrt{n} ||A||_{\infty}$, provando a segunda desigualdade

Isso parece certo até agora, mas não posso provar a outra desigualdade: como posso fazer?

Answer 1

precisamos de

Lema. A desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que para cada$n$-vetor $x$ segura isso

$$\| x \|_1^2 \leq \| x \|_2^2n.$$

Agora escreva $A = (A_1, \dots, A_n)^\intercal$, Onde $A_i$ é o $i$-ésima linha de $A$. Por definição de$\| \cdot \|_\infty$ há um $A_j$ de tal modo que

$$ \lVert A\rVert_\infty = \max_{1\leq i\leq n }\lVert A_i\rVert_1 = \lVert A_j\rVert_1 = \sum_{k=1}^n \left|A_{i,j}\right|. $$

Usar o Lema implica

$$\| A \|_\infty^2 = \|A_j\|_1^2 \leq \|A_j\|_2^2 n \leq \sum_{i = 1}^n \|A_i\|_2^2 n = \|A\|_2^2 n. $$

Dividindo por $n$ e tirar a raiz quadrada produz a afirmação.