Questão de probabilidade condicional (urnas e bolas)

Question

A questão segue:

A urna um contém duas bolas vermelhas, uma preta, a urna dois contém uma vermelha, três bolas pretas e a urna três contém uma vermelha e uma preta. Um aluno escolhe a urna um ou a urna dois aleatoriamente e seleciona uma bola da urna escolhida aleatoriamente e a transfere para a urna três. Então ele tira uma bola da urna três. Dado que a bola que ele puxa é vermelha, qual é a probabilidade de a bola transferida ser vermelha?

Minha tentativa:

Deixei $T_r$ seja o evento de transferência de uma bola vermelha para a 3ª urna e $F_r$seja o mesmo de pegar uma bola vermelha da 3ª urna. Nós queremos encontrar$P(T_r|F_r)$.

Nós sabemos isso $P(T_r|F_r)=\frac{P(T_r\cap F_r)}{P(F_r)}$.

O numerador pode ser encontrado calculando a probabilidade de transferir uma bola vermelha e de 2 bolas vermelhas e 1 preta pegando a vermelha da 3ª urna. A parte de transferência pode ser calculada escolhendo a 1ª ou 2ª urna com probabilidade de 1/2 e, em seguida, calculando a probabilidade de pegar uma bola vermelha e somando-as de modo que:

$P(T_r\cap F_r)=(1/2*2/3+1/2*1/3)(2/3)$

Para $P(F_r)$, podemos pensar como $P(F_r)=P(T_r\cap F_r)+P(T_r^c\cap F_r)$ Onde $T_r^c$ é o caso de transferência de uma bola azul.

Então, $P(T_r^c\cap F_r)=(1/2*2/3+1/2*1/3)(1/3)$

O que nos dá $P(T_r|F_r)=0.6666..$

Estou tentando descobrir a probabilidade com passos de bebê, minha resposta está correta? Se não, você pode me explicar claramente? Muito obrigado antecipadamente.

Answer 1

$ P(T_r|F_r)=\frac{P(T_r\cap F_r)}{P(F_r)}=$ $\frac{\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{2}{3}}{(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{1}{3})}=\frac{22}{35}$

$(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{2}{3})$transferindo um vermelho da urna$_1$ e pegando um vermelho da urna$_3$

$(\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{3})$transferindo um azul da urna$_1$ e pegando um vermelho da urna$_3$

$(\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{2}{3})$transferindo um vermelho da urna$_2$ e pegando um vermelho da urna$_3$

$(\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{1}{3})$transferindo um azul da urna$_2$ e pegando um vermelho da urna$_3$

Answer 2

$P(T_r|F_r)= \frac {P(F_r|T_r) P(T_r)}{P(F_r)}$ ...(Eu)

Quais são cada um deles?

$P(T_r|F_r)$ é a probabilidade condicional de que a bola transferida fosse vermelha, dado que buscamos vermelha.

$P(F_r|T_r)$ é a probabilidade condicional de buscarmos uma bola vermelha se a bola transferida fosse vermelha.

$P(T_r)$ é a probabilidade de transferir uma bola vermelha.

$P(F_r)$ é a probabilidade de obter uma bola vermelha.

Agora, se a bola transferida for vermelha, teremos $2$ bolas vermelhas e $1$ bola preta na terceira urna.

Então, $P(F_r|T_r) = \frac{2}{3}$ ... (ii)

Agora, como a probabilidade de pegar uma bola vermelha da urna $1$ é $2/3$ e da urna $2$ é $1/4$ e a probabilidade de escolher uma dessas urnas é $1/2$,

$P(T_r) = \frac{1}{2} (\frac {2}{3} + \frac {1}{4}) = \frac{11}{24}$ ... (iii)

Número total de bolas na terceira urna após a transferência = $3$.

Número esperado de bolas vermelhas na urna $3$ após a transferência = $1 + \frac{11}{24} = \frac{35}{24}$

então $P(F_r) = \displaystyle \frac {\frac{35}{24}}{3} = \frac{35}{72}$ ... (iv)

Agora substituindo os valores de (ii), (iii), (iv) em (i)

$P(T_r|F_r)= \displaystyle \frac {\frac{2}{3} \times \frac{11}{24}}{\frac{35}{72}} = \frac{22}{35}$