Visualizando redes em um espaço topológico
Qual a melhor maneira de visualizar o conceito de uma rede ou sub-rede em um determinado espaço topológico $X$? Qual é a intuição que faz sentido quando se pensa nas definições de convergência e pontos de cluster de uma rede? Eu entendo que o conceito de convergência determina a estrutura topológica de$X$olhando para os teoremas, mas não consigo ver como isso funciona e o que realmente está acontecendo por baixo. Acho que assim que puder desenvolver uma intuição em torno de redes, sub-redes e pontos de cluster, poderei ver tudo mais claro.
Respostas
Eu pensei sobre a questão e agora acho que desenvolvi uma boa intuição sobre o conceito. De fato, como @HennoBrandsma mencionou nos comentários, a intuição vem de estudar como eles interagem na estrutura de uma prova. O que se segue é o que percebi hoje cedo quando estava tentando provar essas duas afirmações:
Um ponto $p$ em um espaço topológico é um ponto de cluster (pontos que cada conjunto aberto $U$ contendo $p$ contém todos os termos da rede eventualmente) de uma rede $\{x_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ se e apenas se $\{x_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ tem uma sub-rede $\{x_{\alpha_{\beta}}\}_{\beta \in J}$ de tal modo que $\{x_{\alpha_{\beta}}\}_{\beta \in J} \longrightarrow p$.
Deixei $X$ seja um espaço topológico, então $X$ é compacto se e somente se todas as redes em $X$ tem uma sub-rede convergindo para um ponto.
Ao provar a primeira afirmação, primeiro escolhi termos como $x_{\alpha_{U}}$ ser qualquer ponto dentro de um conjunto aberto $U$ contendo $p$em vão. Eu estava tentando provar que essa deveria ser uma sub-rede, enquanto o tempo todo não era. Acredito que um fato importante é que você entende que no caso de uma rede, quando você está tentando encontrar uma sub-rede (que é basicamente encontrar um conjunto sub-direcionado no conjunto direcionado original) escolhendo infinitos índices do conjunto de índices$I$não vai fornecer automaticamente uma sub-rede! Isso é importante e é uma grande diferença nas sequências. Eu acredito que minha confusão estava vindo dessa ilusão que eu tinha.
Para mostrar por que esse é realmente o caso, vamos olhar para esta imagem:
O conceito de conjunto dirigido é a generalização de $\mathbb{N}$. Na verdade, acho que podemos adicionar um conceito de ponto infinito para conjuntos direcionados, que eu defino da seguinte forma:
Defina um mero símbolo $\infty$e adicione-o ao conjunto direcionado. você ainda pode definir a ordem parcial, dizendo$\forall x \in D \quad x < \infty$ (aqui, $D$é o conjunto direcionado). A condição que$\forall x, y \in D - \{\infty\} \quad \exists z \in D - \{\infty\} \quad z > x, z > y$ simplesmente significa que os pontos $D$ estão se movendo em direção a isso $\infty$ apontar conforme eles ficam maiores.
Esta foto também mostra porque escolher um número infinito de membros não acaba sendo um bom sub-índice! você pode realmente acabar com outro conjunto direcionado (como eu fiz), mas o infinito deste subconjunto pode não ser o mesmo de antes. Por exemplo, a parte retangular na imagem pode ser ela própria uma variedade e ter infinitos pontos, mas todos eles estão em um certo nível na ordem parcial, de modo que nem mesmo são comparáveis. É por isso que, na definição de sub-rede, você deve escolher os índices$\alpha_{\beta}$ tal que para cada $\alpha \in I$, existe um $\beta_0$ de tal modo que $\beta > \beta_0 \Longrightarrow \alpha_{\beta} > \alpha$.
Antes de escrever esta resposta, também pensei nesta última condição da seguinte maneira. Eu adiciono outro ponto simbólico$-\infty$e pense nisso como uma fonte, por exemplo, uma torneira contendo um pouco de água. Conforme a água passa$\mathbb{N}$ ou $D$naturalmente deixa alguns pontos molhados. Mas nunca para em alguma região específica (como a ária retangular que poderia ser uma variedade) desde a fonte de gravidade ($\infty$symboll) sempre puxa para baixo. Isso naturalmente dá a você uma sub-rede.
