3D лапласианский оператор

Question

Мне не удалось найти эквивалент 5-точечной конечной разности трафарета для оператора Лапласа.

В двух измерениях для меня ясно, что с использованием метода конечных разностей: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h - размер сетки / шаг)

Но я не уверен, полностью ли он симметричен для трехмерного случая. Могу я просто добавить термины, относящиеся к 3-му измерению?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Также был бы полезен источник, в котором я мог бы найти различные условия точности для трехмерного лапласиана.

Answer 1

Да, эта конечная разница верна. Вы можете получить его, используя конечную разность в каждом направлении для оператора Лапласа в каждой координате.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

В качестве альтернативы вы можете интерполировать многочлен, который проходит через точки в вашем шаблоне, а затем вычислить его лапласиан и оценить его на $(x, y, z)$.