Абелева подгруппа индекса простой степени

Question

У меня возникли трудности со следующей проблемой.

Покажите, что конечная неабелева простая группа не может иметь абелеву подгруппу индекса простой степени.

Я подумал, что могу каким-то образом использовать результат Бернсайда, который гласит: «Для конечной группы G, имеющей класс сопряженности порядка простой степени, тогда G не может быть простой»

Пожалуйста, подскажите, как действовать дальше.

Answer 1

Возьмите неидентификационный элемент $a$ в $H$, то централизатор $a$ содержит $H$ поскольку $H$абелева. Тогда индекс централизатора$a$ в $G$ имеет простую степень, Итак, по теореме Бернсайда (вы заявили), централизатор $a$ это вся группа, что показывает, что центр $G$нетривиально. Простота подразумевает$G$должно быть абелевым, что противоречит данной гипотезе. Следовательно, неабелева простая группа не может иметь абелеву подгруппу индекса простой степени.