Айдентика для Ext для колец
Позволять $A$- двустороннее нётерово кольцо (которое мы должны сначала считать горенштейновым, чтобы все было корректно определено, в противном случае оно корректно определено только с точностью до гипотезы, которая утверждает, что каждый ненулевой модуль имеет конечную степень). Для простоты мы также можем сначала предположить, что$A$ является конечномерной алгеброй, а модули конечно порождены (но также приветствуются неконечно порожденные примеры или негоренштейновские примеры, но меня в основном интересуют конечномерные алгебры).
Для модуля $M$, определите степень $M$ так как: $g_M:= \inf \{ i \geq 0 | Ext_A^i(M,A) \neq 0 \}$. Определите Ext-dual of$M$ быть $U(M):=Ext_A^{g_M}(M,A)$ и двойной Ext-дуал $M$ в виде $G(M):=U(U(M))=Ext_{A^{op}}^{g_{Ext_A^{g_M}(M,A)}}(Ext_A^{g_M}(M,A),A)$. Обратите внимание, что$G(M)$ всегда отличен от нуля.
Вопрос: Всегда ли это $G^l(M) \cong G^{l-1}(M)$ (по крайней мере, в стабильной категории $A$) для некоторых $l \geq 1$ и неразборные модули $M$, так что последовательность $G^l(M)$ стать стационарным?
Это верно для $A$ самоинъективный или наследственный (в этих случаях мы имеем $G(M) \cong M$ для всех $M$). Во всех примерах это было верно даже для$l \leq 2$ поэтому мне интересно, есть ли у нас $G^2(M) \cong G(M)$ (по крайней мере, в стабильной категории).
Ответы
Кажется, что любой модуль $M$ чей двойник $A$-двойной $M^{**}$не рефлексивно дает контрпример. В таком случае$G(M) = M^{**}$ это слагаемое $G^2(M) = (M^{**})^{**}$ с нетривиальным дополнением и $G^2(M)$не может быть рефлексивным, поскольку это свойство наследуется слагаемыми. Повторяя этот аргумент с$G(M)$ вместо того $M$, Мы видим, что $G^l(M)$ это слагаемое $G^{l+1}(M)$ с нетривиальным дополнением для каждого $l \geq 0$.
Вот пример кольца негоренштейна:
Взять $S$ быть единственным простым модулем над $A = k[x,y]/(x,y)^2$. потом$g_S = 0$ и это $A$-dual есть $S^* \cong S^{\oplus 2}$ с участием $g_{S^*} = 0$, так что $G(S) = S^{**} \cong S^{\oplus 4}$ и вообще $G^{l}(S) = S^{\oplus 4l}$.