Биполярная теорема
При доказательстве леммы я столкнулся со следующей проблемой.$1.9$(i) из книги Стрэтилэ и Зидо «Лекции по алгебрам фон Неймана».
Позволять $\mathscr{B}$ быть банаховым пространством и $\mathscr{B}^*$ быть двойником $\mathscr{B}$. Позволять$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$ замкнутое по норме векторное подпространство такое, что $\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$ (т.е. изометрически изоморфный) через каноническую билинейную форму на $\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Рассмотрим$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-топология на $\mathscr{B}$ которое определяется семейством полунорм $\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, где $p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$ для $x\in \mathscr{B}$. Позволять$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$ быть $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-замкнутое векторное подпространство.
Проблема: если$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, затем докажите, что $\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.
Авторы называют $\mathscr{M}^{\circ}$ полярный $\mathscr{M}$а потом говорит, что вывод следует из биполярной теоремы. Но я не нашел никаких ссылок на эту «теорему о биполярности». Так может ли кто-нибудь помочь мне с правильной ссылкой на эту «биполярную теорему» вместе с решением. Заранее спасибо.
Ответы
Позволять $$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$ У нас есть $\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$ по определению $\mathscr M^o$. Предположим, что существует$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. В виде$\mathscr M$ выпуклый и $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-закрыто, по Хан-Банаху существует $\varphi$, линейный и $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-непрерывный, с $\varphi(z)=1$ а также $\varphi|_{\mathscr M}=0$. В$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-непрерывные функционалы на двойственном локально компактном пространстве - это в точности функционалы в предуальном (см., например, теорему V.1.3 в « Курсе функционального анализа» Конвея ); так$\varphi\in\mathscr B_*$. потом$\varphi\in\mathscr M^o$; в виде$z\in\mathscr M^{oo}$, мы бы хотели иметь $\varphi(z)=0$Противоречие. Так$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.