Числовой контурный интеграл

Oct 19 2020

Я пытаюсь вычислить двойной интеграл для фиксированного $m,z>0$:

  (2Pi I)^{-1} Integrate[(Gamma[y/2] Sqrt[Gamma[3 - y]/Gamma[y]])/
  Gamma[(3 - y)/2] z^(3 - y)
   (Exp[-m x] - 1) x^(y - 3)/x, {x, 0, ∞},{y, 
  3/2 - I ∞, 3/2 + I ∞}]

Интеграл по $x$ можно сделать аналитически, и результат зависит от продукта $mz$, поэтому фактически имеется только один параметр. В$x$ Я подозреваю, что интеграл должен быть разбит на две области, и в одной области контур $y$интеграл необходимо было бы деформировать, чтобы он оставался сходящимся. Поскольку$y$ интеграл включает в себя сложные разрезы ветвей, я хотел иметь возможность сделать это численно для ряда $mz$, чтобы получить хотя бы несколько цифр точности. Я испытываю трудности с получением стабильных результатов численно.

Ответы

2 Roman Oct 19 2020 at 14:57

Я не думаю, что этот интеграл сходится: просто глядя на $x$-интеграция,

Assuming[m > 0 && z > 0 && Element[q, Reals], 
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2] /.
            y->3/2+I*q,
            {x, 0, ∞}]]

(*    diverges    *)

Кажется, что сходится, только если $\text{Re}(y)$ находится в интервале $[2,3]$:

Assuming[m > 0 && z > 0,
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
            {x, 0, ∞}]]

(*    (m^(3-y)*z^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]
      if 2 < Re[y] < 3                                                                  *)

Используя этот последний результат:

f[m_, z_, y_] = 
  Assuming[m > 0 && z > 0 && 2 < Re[y] < 3, 
    Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
              {x, 0, ∞}]]

(*    ((m*z)^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]    *)

мы можем определить искомый интеграл как

F[mz_?NumericQ, Ry_?NumericQ] := 
  2*I*NIntegrate[Re[f[mz, 1, Ry + I t]], {t, 0, ∞}]

используя некоторые симметрии f: это зависит только от продукта$m\cdot z$, не на $m$ и $z$индивидуально; это симметрично в$t$ поэтому мы можем ограничить интеграл до $[0,∞)$(но возьми дважды); и результат будет чисто мнимым, поэтому мы интегрируем только действительную часть подынтегрального выражения.

Теперь мы можем построить, например, результат для Ry = Re[y] = 5/2: (отображение мнимой части)