Дифференцировать $x^x$ «Напрямую»

Question

Я знаю, что производная $x^x\log x+x^x$, но я получил это с помощью логарифмического дифференцирования. Можно ли получить это «напрямую», не вводя логи или экспоненты?

Answer 1

Есть хороший трюк с использованием многомерного исчисления, который почему-то более естественен: если вы напишете $f(y, z) = y^z$ и $g(x) = (x, x)$ для диагонального отображения, то $x^x = f(g(x))$. Теперь дифференциал$f$ в какой-то момент $(y, z)$ является $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ и дифференциал $g$ просто $(1,1)$, поэтому по цепному правилу производная от $x^x$ является $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Я предполагаю, что вы имеете в виду отличие от основных принципов, а не использование$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Вам нужно оценить$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Если $y$ и $z$ являются функциями $x$, то полная производная функции $f(y,z)$ относительно $x$ равно $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ Из этого факта многомерного исчисления мы можем вывести несколько правил дифференцирования исчисления с одной переменной:

• Принимая $f(y,z) = yz$, у нас есть $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ и $\frac{\partial f}{\partial z} = y$, и поэтому (*) становится правилом продукта $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Принимая $f(y,z) = \frac yz$, у нас есть $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ и $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, и поэтому (*) становится правилом частного $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Наконец, взяв $f(y,z) = y^z$, у нас есть $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ и $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, и поэтому (*) становится $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ В частности, установка $y=x$ и $z=x$, так что $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, дает $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Это использование полной производной также помогает с производными таких выражений, как $\int_a^x f(x,t)\,dt$, и помогает объяснить, почему все эти очень разные правила имеют форму «претендуют на все, кроме одной, функции $x$ постоянны, по одной, и сложите все эти предполагаемые производные вместе, чтобы получить фактическую производную ".

Answer 4

Рассматривать,

$$f(x) = x^x$$

Потом,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Теперь рассмотрим крайний правый термин в скобках,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

И,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Следовательно,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

По определению, что производная - это вариация первого порядка,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Справка