Дифференцируемость $\implies$ частные производные существуют?

Question

Скажем, у меня есть дифференцируемое отображение $f: G \to \Bbb{R}$, где $G$ открытое подмножество $\Bbb{R^n}$. Отсюда следует, что производная по направлению$\frac{\partial f}{\partial u}(x_0)$ существует во всех направлениях (кроме направления $u=0$). Теперь, поскольку частная производная является частным случаем производной по направлению, можно заключить, что частные производные$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$, где $x_0 = (x_1, ... x_n )$, тоже существуют?

Answer 1

Конечно, частные производные $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)$$ существуют, и если $L = f^\prime(x_0)$ является производной от $f$ в $x_0$, у нас есть

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) = L(e_i)$$ где $e_i$ это $i$-й вектор канонического базиса.