Дифференцируемость в нуле

Question

Рассмотрим функцию, заданную формулой

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Я сейчас хочу определить $k$ и $m$ такой, что $f$ дифференцируема в $x=0$.

Кроме того, я хочу определить $k$ так что линия $k=y-36x$ перпендикулярна следующей кривой:

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

Для первой задачи я сделал вывод $m=1$ и $k\in \mathbb{R}$. Это правильно, по второй задаче я не продвинулся

Answer 1

Преемственность:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

Дифференцируемость:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

Вы можете получить 2 уравнения - одно для непрерывности, а другое для дифференцируемости.

ПРОВЕРКА НЕПРЕРЫВНОСТИ

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

ПРОВЕРКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОСТИ $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

Я позволю вам сделать вывод.