Дисконтированная цена - мартингейл
У меня есть процесс $S_{t}=S_{0}e^{\left(r-q\right)t+mt+X_{t}}$, где $X_t$ это процесс Леви, и я хочу проверить, какой $m$ процесс $e^{-(r-q)t}S_t$это мартингал. Третье условие мартингейла гласит, что для$s\leq t$ $$E(e^{-(r-q)t}S_t|F_s)=e^{-(r-q)s}S_s,$$ где $F_s$ фильтрация, создаваемая процессом $S_t$.
Многие авторы пишут, что этот процесс - мартингейл, когда $E(e^{-(r-q)t}S_t)=S_0$ т.е. когда $m=-\frac{1}{t}\ln\left(\phi_{X_{t}}\left(-i\right)\right)$, где $\phi_{X_t}$ - характеристическая функция $X_t$.
Почему они не обусловлены $F_s$ когда они проверяют, что это мартингейл?
Ответы
Экспоненциальный процесс Леви обычно моделируется с помощью$$ S_t = S_0\exp\left(\left(r-q+\omega\right)t+X_t\right),$$ где $X_t$это процесс Леви с$X_0=0$. Процесс Леви включает в себя три особенности модели: линейный дрейф, диффузные толчки и скачки (которые могут быть большими и редкими или маленькими и частыми). Номер$\omega$называется поправкой мартингейла или поправкой Дженсена и обеспечивает свойство мартингейла .
Чтобы наша стандартная финансовая теория работала, реинвестированная и дисконтированная цена акций, $S_te^{-(r-q)t}$, должен быть мартингейлом под $\mathbb{Q}$(при постоянных процентных ставках и дивидендной доходности). Позволять$(\mathcal{F}_t)$ обозначают естественную фильтрацию $X_t$. Тогда для любого$s\leq t$, \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_0e ^ {(r-q + \ омега) t + X_s + (X_t-X_s)} | \ mathcal {F} _s] \\ & = S_0e ^ {(r-q + \ omega) t} e ^ {X_s} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q } [e ^ {X_t-X_s}] \\ & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [e ^ {X_ {ts}}] , \ end {align *} где мы использовали это$X_s$ является $\mathcal{F}_s$-измеримые, и $X_t-X_s\overset{d}{=} X_{t-s}$ не зависит от $\mathcal{F}_s$, смотрите здесь .
Позволять $\varphi_{X_t}(u)=\mathbb{E}[e^{iuX_t}]$ - характеристическая функция процесса Леви $X_t$. Формула Леви-Хинчина утверждает, что$\varphi_{X_t}(u)=e^{t\Psi(u)}$которое следует из бесконечной делимости процесса Леви. Функция$\Psi$называется характеристическим показателем и фиксирует компоненты дрейфа, диффузии и скачка$X_t$.
Затем \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} \ varphi_ {X_ {ts}} (- i) \\ & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} e ^ {(ts) \ Psi (-i)}. \ end {align *} Следовательно, установка$\omega=-\Psi(-i)$дает \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = S_s e ^ {(rq) (ts)}, \ end {align *} который в в свою очередь, означает, что дисконтированная цена реинвестированных акций действительно$\mathbb{Q}$-мартингейл.
Обратите внимание, что $$\omega=-\Psi(-i)=-\frac{1}{t}\ln\left(\varphi_{X_t}(-i)\right)$$не зависит от времени. Таким образом, для экспоненциального процесса Леви свойство мартингала сохраняется, если вы проверяете, что$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t]=S_0e^{(r-q)t}$.