Докажите, что последовательность $\{a_n\}_n$ определяется $a_1=-\frac14$ а также $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$ сходится и найти свой предел.

Question

Я хочу проверить свою попытку и вывод. Задача следующая:

Докажите, что последовательность $\{a_n\}_n$ определяется $a_1=-\frac14$ а также $$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$ сходится и найти свой предел.

Вот что у меня есть на данный момент:

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

Я вычислил несколько терминов:

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

Я предположил $a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.

Тогда из $(1)$ а также $a_{n+1}<0$, следует

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

Тогда индуктивно, если $\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$ для некоторых $m\in\Bbb N,$ у нас есть $\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

Итак, последовательность $\{a_n\}_n$ монотонно и ограничено, а значит, сходится.

Кроме того, мы можем доказать более сильное утверждение:

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

Вставляя предел в $(1)$, мы получили $$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

Следовательно, $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.

Есть ли ошибки в моих предположениях и выводах и нужно ли делать какие-то шаги в другом порядке?

Я знаю, что не могу доказать $a_n<0\quad\forall n$ по индукции, поскольку функция $f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$ определяется $$f(x)=-\frac4{x+4}$$ не монотонен во всем домене, просто на $(-\infty,-4)$ а также $(-4,+\infty)$ в отдельности.

Кроме того, когда я думал о написании $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ а потом $$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$ и предполагая $x_{n+1}=-4y_n$ а также $y_{n+1}=x_n+4y_n$, Я получил однородную повторяемость $$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$ с характеристическим многочленом $$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$ с множественным корнем, поэтому я подумал, что буду слишком усложнять.

Большое спасибо!

Answer 1

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

Позволять $A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$ Позволять $B_n=t^n$, тогда $$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$ потом $B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$, $$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$ Наконец, у нас есть решение $(1)$ в виде $$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$