Это $S^1$ конус $D^2$?

Question

Позволять $X$ - топологическое пространство, пусть $Y=X \times [0,1]$ и $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. конус на X - это пространство$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Теперь позвольте $X=S^1$, моя цель - доказать, что конус на $X$ гомеоморфен $D^2$, где $D^2$ унитарный замкнутый круг в $\Bbb R^2$. По сути, этот конус получается из цилиндра путем стягивания нижнего основания до точки.

Используя полярные координаты, мы можем составить карту $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ определяется как $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Это отображение непрерывно, инъективно и сюръективно, но как доказать, что это гомеоморфизм?

Answer 1

Показывать $f$ является гомеоморфизмом без использования компактности, вы можете явно построить обратное к $f$, а именно $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ где скобки обозначают класс эквивалентности, а $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ где каждое из этих значений следует рассматривать как число (mod $2\pi$), следовательно, элемент $S^1$.

Преемственность $g$ довольно ясно везде, кроме $y$-ось. Для тех, вам нужно показать, что$g^{-1}(U)$ открыт всякий раз, когда $U$ открыт в домене, что будет означать запись способа описания открытых множеств в частном, что является головной болью, но вы можете это сделать.