$f(xf(x)) = 2f(x)$

Question

Вопрос говорит

Найдите все функции, которые удовлетворяют$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.

Сравнивая степень двух сторон уравнения, легко увидеть, что $f$не может быть ненулевым многочленом или степенной функцией. Функция, удовлетворяющая найденному мною функциональному уравнению, является тривиальной$f(x) =0$. Может ли кто-нибудь показать способ найти остальных или доказать, что найденный мной только один? Заранее спасибо.

Answer 1

Будем искать все непрерывные (очень строковое ограничение!) Решения$\Bbb R\to\Bbb R$ (домен, позволяющий использовать множество инструментов!).

---

С участием $x=0$, мы нашли $f(0)=0$.

Если $f(x_0)=1$, тогда $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$противоречие. Мы приходим к выводу$f(x)\ne1 $ для всех $x$.

Если $y=f(x)$ находится в образе $f$, то так $2y=f(xf(x))$. В частности, если$f$ достигает любого положительного значения, то $f$неограничен сверху. Но тогда из теоремы о промежуточном значении следует, что$1$ находится в образе $f$. Мы делаем вывод, что$f(x)\le 0$ для всех $x$.

И если $f$ достигает любого отрицательного значения, то $f$неограничен снизу. потом$f(x_1)=-\frac12$ для некоторых $x_1$. потом$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ By the IVT again, there exists $x_2$ between $0$ and $-\frac12x_1$ with $f(x_2)=-\frac12$. By repeating this process, we obtain a sequence $\{x_n\}$ such that $f(x_n)=-\frac 12$ and $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$, i.e., $x_n\to 0$. As $f(0)=0$, this contradicts continuity.

We conclude that the only continuous solution $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ is the trivial solution.