Игроки и билеты
Вы среди N игроков, которые будут участвовать в соревновании. Для определения места каждого игрока используется лотерея. У тебя есть преимущество. Два билета с вашим именем помещаются в шляпу, а для каждого из остальных игроков в шляпу помещается только один билет с ее / его именем. Шляпа хорошо встряхивается и из шляпы по одному вынимаются билеты. Порядок появления имен определяет размещение каждого игрока. Какова вероятность того, что вам будет присвоен$n$-е размещение для $n = 1, 2, . . . , N$?
Вероятность того, что мое имя выпадет на $k$й попытки $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (т.е. сказать $k-1$ неудач до первого успеха в $k$). Я знаю, что решение$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Позволять $A_i$ быть событием, когда мое имя сравнивается в $i$-я попытка. Так:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Таким образом я подумал, что
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
но я не могу привести себя к продукту, указанному выше. Где я не прав?
Ответы
Я получаю (почти) тот же результат, что и вы, исходя из предположения, что «после того, как имя было нарисовано и размещено, любые будущие билеты с этим именем игнорируются»:
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
имеются $n-1$ условия, касающиеся первого $n-1$неудачные розыгрыши и последняя при успешной розыгрыше. Знаменатели уменьшаются на 1 в каждом множителе, так как количество билетов, которые нужно разыграть, уменьшается на 1 после каждого розыгрыша. Во-первых$n-1$ терминов (неудачных розыгрышей) счетчик также уменьшается на 1, поэтому разница между знаменателем и счетчиком всегда будет $2$ в тех условиях (представляющих ваши 2 билета).
Этот результат можно записать как
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
Ваше "известное решение" дает пустой продукт для $n=1$, так что это будет означать вероятность 1, что, очевидно, неверно. Поэтому проверьте, правильно ли вы его скопировали.
Ваше решение значительно упрощается. По какой-то причине \ cancel не работает, поэтому я попытался обозначить, что я имею в виду, указав тем же цветом термины, которые отменяют. К сожалению, я могу показать таким образом только несколько первых терминов.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Вот способ лучше.
Позволять $1\leq n\leq N$быть данным.
Позволять$A$ будь то ваше имя на $n$-й билет. Позволять$B$ будь то событие, которое вы называете, нет ни на одном из билетов $1,2,\dots,n-1$. Мы ищем$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Первый член очевиден. Для второго есть$N$ места, где может быть другой билет с вашим именем, и $N+1-n$ из них приходят после $n$-й билет.
Если вы выполните описанное выше упрощение, вы придете к этому простому ответу.
Возможно, я не понимаю, как проводится этот вероятностный эксперимент, но я получаю другой ответ, чем все остальные. Может быть, кто-нибудь сможет указать, почему мои рассуждения неверны, если таковые есть?
Предположим, что после выбора имени игрока все будущие билеты с таким именем игнорируются.
Количество способов розыгрыша билетов, чтобы ваше имя отображалось в $n^{th}$ слот ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Общее количество способов розыгрыша билетов: ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Разделение этих двух дает желанную вероятность $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим конкретный пример. Предположим, вы игрок №1, играющий в лотерею с$N-1=2$ другие люди и $ \{1,1^*\} $ представляет два ваших билета из $N+1=4$билеты в шапку. Обозначим сбор всех билетов в шляпе через$\{1,1^*,2,3\}$. Мы можем перечислить все${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ возможный порядок имен явно: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ Вероятность того, что вы попали в $n^{th}$ размещение $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ за $n=1,2,3$ что для меня имеет смысл.