Интегральная идентичность пути

Question

Я читаю методы фонового поля в лекциях EPFL по GR как EFT . Авторы используют это тождество на странице 23, уравнение (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$который представляет собой просто стандартный гауссовский интеграл (по путям). Но они продолжают использовать это:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$чего я не совсем понимаю. Использует ли это$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Если да, то почему в$\exp$ - не должна ли быть соответствующая дельта-функция, чтобы «отменить» это?

Answer 1

1. Да, OP прав: в лекциях используется гауссовская интеграция путей и идентичность$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$в экв. (174).

2. Далее в лекциях используется отношение полноты $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ и $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$в экв. (174).

3. Сохранившаяся кривая на правой стороне последней ур. (174) может, например, быть следом аромата и указывает, что след в ур. (iii) - это только частичный след .

Answer 2

Да, вы правы - выше было использовано тождество детерминант-логарифм. Что касается экспоненты, было использовано следующее (из книги Квантование поля Грейнера, Рейнхардта, глава 11, страница № 353):
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

Там же приводится доказательство сказанного. В$2\pi$скорее всего уже поглощены сопутствующей константой. Выражение, данное в вашем вопросе, является (скорее всего) интегралом действия в формализме Фейнмана (интеграл по путям), и именно поэтому$-i$ - суть формализма Фейнмана в том, что действие можно записать как $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Ура!