Какое правильное определение непрерывно дифференцируемого?
Предположим $V$ и $W$ банаховы пространства, $U\subset V$ открыто, и $F:U\to W$- дифференцируемая функция. Тогда производная от$F$ это карта $$ DF:U\to B(V;W) $$ где $B(V;W)$ - банахово пространство непрерывных линейных отображений $V\to W$.
Мы говорим что $F$это класс $\mathcal{C}^1$ в какой-то момент $x_0\in U$ если отображение $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ непрерывно на $x_0$; мы говорим, что$F$это класс $\mathcal{C}^1$ на $U$ если $F$ классный $\mathcal{C}^1$ в каждой точке $U$.
Если $X$ - произвольное подмножество банахова пространства $V$ и $f:X\to W$ это карта, то мы говорим, что $f$это класс $\mathcal{C}^1$ на $X$ если существует открытое подмножество $U$ из $V$ где $X\subset U$ и функция $F:U\to W$ класса $\mathcal{C}^1$ на $U$ где $F|_X=f$. (Неформально мы можем расширить$f$ к открытому набору, на котором он классный $\mathcal{C}^1$.)
См. Этот ответ для функции$f$который непрерывно дифференцируем только в одной точке. А именно, если$g(t)=t^2\sin(1/t)$ за $t\in\mathbb{R}$ тогда функция $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ непрерывно дифференцируема в $t=0$. Тем не мение,$f$ имеет разрывы, произвольно близкие к началу координат, поэтому $f$ не может быть классным $\mathcal{C}^1$ на любом открытом множестве, содержащем $0$.
То есть, $f$ это функция класса $\mathcal{C}^1$ в $0$, но $f$ не является $\mathcal{C}^1$ на $\{0\}$.
Мне это не кажется правильным. Конечно, такое поведение не является «типичным» для функции, с которой мы сталкиваемся. Однако этот пример меня до сих пор беспокоит. Что мы можем сделать? Можем ли мы немного изменить приведенные выше определения, чтобы этого не произошло? Ответ, на который я ссылался, неверен? (Я не смог доказать результаты, которые он заявил ...)
Ответы
Насколько я знаю, функция $\mathcal C^1$ на съемочной площадке $X\subseteq V$ если это $\mathcal C^1$ на интерьере $X$ и $\mathrm Df$ можно непрерывно расширять до $X$. С этим определением ваша примерная функция будет$\mathcal C^1$ на $\{0\}$, поскольку внутренность этого множества пуста, а любая функция пуста $\mathcal C^1$на пустом наборе. Но это определение действительно интересно только на множествах с непустой внутренней частью. Поведение этого определения на множествах, которые не соответствуют$X=\overline{X^\circ}$, нравиться $\{0\}$, это просто забавный артефакт. Кроме того, это приводит к функциям, которые$\mathcal C^1$ на $\{0\}$, но нет $\mathcal C^1$ в $0$, так что дилемма, противоположная той, которую вы упомянули.
По этим причинам обычно лучше ограничиться открытыми наборами или закрытием открытых наборов и не беспокоиться о $\mathcal C^1$-ness на синглтон-наборах. В любом случае это не принесет никаких серьезных открытий. Тогда определение будет выглядеть так:
Позволять $U\subseteq V$быть открытым. потом$\mathcal C^1(U,W)$ - множество всех непрерывно дифференцируемых функций $U\to W$, и $\mathcal C^1(\overline U,W)$ - множество всех непрерывных функций $f:\overline U\to W$ для которого $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ такой, что $\mathrm D(f\vert_U)$ можно непрерывно расширять до $\overline U$.