Комбинаторика - Выбор клюшек

Question

В коробку помещается семь палочек длиной 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 дюймов. Случайно выбираются три палочки. Какова вероятность того, что треугольник может быть образован путем соединения концов палочек? Выразите свой ответ дробью.

Моя работа: Используя неравенство треугольника, я посчитал$9$ способы выбрать палочки: $(3,5,7) ; (3, 11, 13) ; (5,7,11) ; (5,11,13); (5,13,17); (7,11,13); (7,11,17); (7,13,17) ;(11,13,17) $.

Мой вопрос: Я не знаю, как посчитать общее количество вариантов выбора клюшек. Выбирает$(3,5,7)$ так же, как выбор $(5,3,7)$, например, или они считаются разными способами рисования?

Answer 1

Для первой палки у вас есть $7$опции. Для второго и третьего у вас есть$6$ и $5$варианты соответственно. Это означает, что вы можете выбрать$3$ палочки из $7$ в $7*6*5=210$способами. Только$9*(3*2*1)=54$ из них приводят к желаемому результату, поэтому вероятность будет $\frac{54}{210}=0.257...$

Как указывали другие, вы можете принимать во внимание порядок или нет, если вы делаете это последовательно в своих расчетах. Если вы видите разные порядки наборов одной и той же палки как эквивалентные, количество способов выбора$3$ палки из $7$ действительно $\binom{7}{3}=35$ или $7$ выбирать $3$. Потом,$\frac{9}{35}=\frac{54}{210}=0.257...$