Конечна ли группа Клиффорда?

Question

Для любых фиксированных $n$, как доказать, что $n$-кубит группа Клиффорда (подгруппа $ U(2^n) $генерируется вентилями Хадмара, фазовыми вентилями и вентилями CNOT) является конечным или нет? Я знаю, что для случая одного кубита, где задействованы только вентиль H и вентиль S, это конечная группа, поскольку эти два гейта соответствуют$\pi$вращения на сфере Блоха вдоль осей, проявляющих симметрию. Я предполагаю, что в случае нескольких кубитов он остается конечным, но я не смог найти способ это строго доказать.

Более того, если оно конечно, каково выражение количества элементов в группе как функции от $n$?

Answer 1

Иногда вокруг группы Клиффорда на местах возникает некоторая путаница ... и это вопрос определения.

Многие люди определяют группу Клиффорда $\mathrm{Cl}_n(p)$ из $n$ кудиты простого измерения $p$как унитарный нормализатор обобщенной группы Паули (например, Готтесман, Нильсен и Чуанг). Таким образом, очевидно, что это не конечная группа, поскольку центр$U(1)$.

Однако это тоже плохое определение как с математической, так и с физической точки зрения. Почему? Во-первых, потому что центр математически скучен и ничего не добавляет к структуре группы, а во-вторых, потому что глобальная фаза унитария нефизична.

Есть три способа решить эту проблему:

1. Определите его по его генераторам (см. Статью Готтесмана о многомерных генераторах). Тогда ясно, что он конечен, поскольку все генераторы имеют элементы алгебраической матрицы. Используя стандартные генераторы, вы все равно получите слишком большой центр в случае кубита:$\mathbb{Z}_8$. Минимальный -$\mathbb{Z}_4$ в случае кубита $\mathbb{Z}_p$в случае qudit. Переосмысление$H$ ворота как $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ делает центр минимальным для кубитов.
2. Вы можете определить его как нормализатор в унитарной группе с записями в $\mathbb{Q}[i]$(рациональные комплексные числа). Это даст вам группу с минимальным центром (см. Ссылку 1).
3. Определите проективную группу $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, или, что эквивалентно, изображение в сопряженном представлении, т.е. ~ унитарные каналы, связанные с Клиффордс. Его элементы можно рассматривать как перестановки операторов Паули (возможно, с добавлением фаз), которые сохраняют коммутационные соотношения. Поскольку есть$p^{2n}$ Операторов Паули число перестановок конечно (а значит, $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Более того, он имеет$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ где $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ - (обобщенная) группа Паули с точностью до фаз и $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ симплектическая группа над конечным полем $\mathbb{F}_p$. Его мощность$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Таким образом, проективная группа Клиффорда имеет мощность $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Для непроективных нужно умножать на порядок центра. Для справки см., Например, Ref. 2

Рекомендации:

1. Габриэле Небе, Э. М. Рейнс и Н. Дж. А. Слоан. «Инварианты групп Клиффорда»
2. Д. Гросс, "Теорема Хадсона для конечномерных квантовых систем"