Конечномерность Ext¹ простых модулей

Question

Для простоты пусть $\Bbbk$ быть полем характеристики $0$ и разреши $A$ - конечно порожденная ассоциативная единица $\Bbbk$-алгебра.

Верно ли, что для любых двух простых $A$-модули $S_1, S_2$у нас есть это $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ конечномерно?

Если нет, то каким был бы простой контрпример и какие условия нам нужны для этого?

(Насколько я понимаю, алгебра Вейля $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ имеет только бесконечномерные простые модули, но их первые группы расширений по-прежнему конечномерны.)

Answer 1

На самом деле ваше утверждение об алгебре Вейля справедливо только для простых голономных модулей. Оказывается, существует простой неголономный модуль$M$ над второй алгеброй Вейля $A=A_2(\Bbb C)$ для которого $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$бесконечномерно. Это следствие 1.3 из «Неголономных модулей над алгебрами Вейля и обертывающих алгебр» Стаффорда.

Answer 2

Это правда, если $A$коммутативен. Мы можем вычислить$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ используя первые три условия свободного разрешения $S_1$; поскольку$S_1$ просто он циклический, поэтому первый член этой резолюции $A$ а второй член этой резольвенты - любой конечный набор образующих ядра $A \to S_1$, который конечно порожден, поскольку $A$нетерианец; Нетеровость также подразумевает, что мы можем считать третий член (и фактически каждый член) конечным свободным. Таким образом, мы получаем послойное конечное свободное разрешение

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

который вычисляет $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ как часть $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$; от Nullstellensatz$\dim_k S_2$ конечно, поэтому $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$также должно быть конечным. В более общем смысле$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ конечно.

Если $A$ некоммутативный $\dim_k S_2$ может быть бесконечным и ядро $A \to S_1$ может быть бесконечно порожденным (если $A$ не является нётерским), поэтому этот аргумент неверен в двух местах.