$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $

Question

Мне нужно решить следующий предел $$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $$ Мое решение:

$ \lim\limits_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x}= \lim\limits_{x \to -\infty}{x \cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}=- \infty$

а правильный результат $-1$,

но я не могу понять, где я делаю ошибки.

Answer 1

Посмотри это: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$$ $$ = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x}}-1}$$ $$ = \frac{2}{-1-1} = -1 \quad [\text{as }x< 0] $$

Answer 2

$\sqrt {x^{2}+2x} =-x (\sqrt {1+\frac 2 x})$ за $x <0$. Теперь воспользуйтесь тем, что$\sqrt {1+\frac 2 x} \sim 1+\frac 1 x+o(\frac 1 x)$ чтобы увидеть, что предел $-1$.