Максимальная плотность набора без фиксированного рисунка
Рассмотрим конечное множество $S$ неотрицательных целых чисел.
Какова максимальная естественная плотность бесконечного подмножества $\mathbb{Z}$ который не содержит перевода $S$?
Конечно, это будет зависеть от $S$, но, возможно, есть простой алгоритм или характеристика. Меня тоже интересует этот же вопрос в$\mathbb{Z}^k$.
Были ли исследованы вышеупомянутые вопросы в какой-либо форме? Я не придумал поисковый запрос, который что-либо возвращает.
Ответы
Вопрос эквивалентен нахождению минимальной плотности покрытия $\mathbb{Z}$ переводом $-S$. Эта проблема изучалась как для целых чисел, так и для других групп; см. например
Вольфганг М. Шмидт и Дэвид М. Таллер, Покрытие и упаковка $\mathbb{Z}^n$ и $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x
Бела Боллобас, Сванте Янсон и Оливер Риордан, О покрытии трансляциями множества, https://doi.org/10.1002/rsa.20346