Нахождение элементарных матриц

Question

Итак, рассмотрим эти матрицы $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

И вопрос в том, чтобы найти обратимую матрицу $X$ такой, что $AX=B$ и выразить $X$как произведение 2-х элементарных матриц.

То, что я знаю, я пробовал: я знаю, что вы можете легко получить X, инвертировав A и умножив его на B, но мне нужны две элементарные матрицы, поэтому я попробовал другое решение.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Поэтому я попытался сделать A равным с помощью элементарных операций со строками и проделать то же самое с другими 2 $\times$ 2 единичная матрица.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Таким образом, я смог добраться до C за две элементарные операции, подобные указанной задаче. Но затем, когда я пытаюсь проверить свое исходное уравнение:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Это не равно C. Я не понимаю, что делаю не так? Я пытался делать вычисления снова и снова, но до сих пор прихожу к одному и тому же. В чем моя ошибка? Это сам процесс?

Answer 1

Попробуй посчитать $A^{-1}B$ и вы увидите, что матрица отличается от $E_1E_2$ , поэтому из-за того, что матрица, обратная квадратной, уникальна (и поэтому $A^{-1}B$ тоже) ваш метод неправильный.

---

Для решения проблемы я бы использовал свойство матрицы перемещения, а именно:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Чтобы использовать это, найдите элементарные матрицы для системы: $$KA^T = B^T$$ с участием $K=E_2E_1$, а затем все переместите, получив:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$