Найдите длину $DE$
Позволять $ABC$ быть треугольником с $AB<AC$. Позволять$D$ быть на стороне $AC$ такой, что $AD=AB$. Позволять$I$ быть центром треугольника $ABC$ и $E$ - пересечение серединных перпендикуляров к $ID$ и $BC$. Тогда найди$DE$ с точки зрения $AB$, $AC$ и $BC$.
В исходном вопросе была указана некоторая длина ($AB=5$, $AC=8$ и $BC=7$). Так мои расчеты были намного проще. Мне не удалось найти элегантного решения, поэтому мне пришлось использовать координатную геометрию, чтобы получить решение методом грубой силы. Я заметил интересную вещь:$AI$, серединный перпендикуляр к $BC$ и серединный перпендикуляр к $ID$ встретились в описанном круге $\triangle ABC$. я знаю почему$AI$ и серединный перпендикуляр к $BC$ встречаются в описанной окружности, но я не знаю, почему средний перпендикуляр к $ID$тоже встретился бы там. Может ли кто-нибудь предоставить доказательства?
Вернемся к основному вопросу. Я установил$B=(0,0)$ и $C=(7,0)$ и без особого труда нашел координаты $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ и $I=(2, \sqrt{3})$ и $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. Уравнение серединного перпендикуляра к$BC$ является $x=3.5$ и уравнение серединного перпендикуляра к $ID$ является $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. Их пересечение - это точка$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. Отсюда и длина$DE$ является $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Как вы уже видите, этот метод чрезвычайно громоздок и подвержен ошибкам (я даже не знаю, верен ли мой ответ). Мне бы очень понравилось геометрическое решение этого вопроса. Я знаю только элементарную геометрию и тригонометрию, поэтому прошу решение на их основе. (Также поясните, почему они будут коллинеарными). Любое решение будет оценено по достоинству. Не стесняйтесь использовать указанную длину, чтобы упростить вычисления и написание.
Схема для справки:
Ответы
Обозначим углы треугольника через $A,B,C$ и стороны треугольника, противоположные этим углам соответственно, как $a,b,c$.
Факт 1: Поскольку$\triangle ABD$ равнобедренный с биссектрисой угла $AI$, $AI$ - серединный перпендикуляр к $BD$.
Факт 2: $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
Факт 3: используя это$\triangle ABD$ равнобедренный, у нас есть $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
Из Фактов 2, 3 , мы получаем, что$\angle BIC=\angle BDC$, поэтому если мы проведем описанную окружность $\triangle BDC$, то эти два равных угла являются углами в одном и том же сегменте этой окружности , так что$B,I,D,C$совпадают. Это означает, что$\underline{\text{$\ треугольник BID$ and $\ треугольник BDC$ have the same circumcircle}}$.
Следовательно, обозначая $\texttt{PB,CC}$ как срединный перпендикуляр и описанную окружность соответственно, следует, что $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ но подчеркнутый факт подразумевает $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ так что $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$и по факту 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ где второе равенство - это то, что вы упомянули, и вы уже знаете.
Таким образом $E$ это центр описанной окружности $\triangle BIC,\triangle BDC$ с участием $EC,EI,ED$ как радиус $R_1$круга. Ты можешь найти$|DE|=R_1$ используя правило синуса на $\triangle BDC$ так как
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ а затем используйте $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ с участием $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ из правила косинуса.
Мы это видим $ID=IB$. Также у нас есть:
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
Что приводит к:
$\triangle ABE=\triangle AEC $
Следовательно:
$BE=DE$
Теперь соедините C с I. CI - биссектриса угла ACB. Обозначьте пересечение перпендикуляра от E на ID как F. Этот перпендикуляр также является биссектрисой угла IED. У нас есть:
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
Какие результаты:
$\angle BCI=\angle IEF$
Мы также можем показать, что $EC=ED$. Это означает, что точки B, I, D и C находятся на окружности центра круга в E. Теперь рассмотрим треугольник IBC, DE - фактически радиус этого круга, поэтому мы используем следующую формулу для вычисления его меры:
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
Где S - площадь этого треугольника. Теперь все, что нам нужно, это найти меры BI, IC. Имея их, мы можем найти S, используя формулу Харума, и найти R.