Найти все функции $f$ такой, что $f(mn) = f(m)f(n)$ и…

Aug 16 2020

Найти все функции $f : N → N$ такой, что

а) $f(2) = 2$

(б) $f(mn) = f(m)f(n)$ для всех $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ за $m < n$

Сначала я заменил $m=1,n=2$ получить $f(1)=1$. Далее мы можем легко заметить, что все степени$2$будут равны сами себе. То есть$f(4)=4,f(8)=8$, и так далее. Теперь я не уверен, что следующий шаг верен. В виде$f(4)>f(3)>f(2)$, и $f : N → N$, Я думаю $f(3)$ может быть только $3$но опять же я не так уверен. Если это так, то я считаю, что единственно возможной функцией является$f(x)=x$.

Теперь к следующей части проблемы -

Что будет, если нам не дано третье условие?

К сожалению, у меня нет даже ответа на проблему, не говоря уже о решении. Любые подсказки тоже будут полезны, спасибо.

Ответы

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

Легче :

если $f(1)=1$ и $f(2^n)=2^n$, и потому что у вас есть $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

единственная возможность состоит в том, что $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ и так далее.