Нормы и действия оператора

Question

Определим норму оператора как $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ за $A ∈ L(H)$. Он сказал, что$||A||$ измеряет величину действия $A$.

Что подразумевается под действием $A$ а что такое sup в этом уравнении?

Кроме того, как мы можем проверить, $A$ ограничен или неограничен этим утверждением?

Answer 1

Оператор неограничен, если его норма супремума бесконечна. Это следует тривиально, отрицая определение ограниченного оператора в предбанаховом пространстве.

"Линейный оператор $A :D(A) \rightarrow X$ называется ограниченным, если и только если

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

Максимальное значение $k$ над областью определения A называется супремум-нормой A.

Answer 2

Sup в уравнении является супремумом по всем состояниям вне гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Другими словами, вы выбираете состояние$|\psi\rangle$ снаружи $\mathcal{H}$ для которого номер $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$становится самым большим. Можно показать, что операторная норма$A$ соответствует наибольшему собственному значению $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Как оператор, действующий на$\mathcal{H}$, $A$ отображает одно состояние из него в другое, которое может быть не нормализовано, поскольку у вас нет гарантии $A$будучи унитарным. Итак, вы можете думать о действии$A$ как показатель «сколько» ненормализованных $A|\psi\rangle$ это, учитывая, что $|\psi\rangle$ есть, т.е. $\langle\psi | \psi \rangle=1$.