О формуле обращения Фурье

Question

Для заданной функции $f\in L^1(\mathbb{R})$, предположим, что
$$\check{f}(x)=\int_\mathbb{R} \hat{f}(\zeta)e^{2\pi i\zeta x}d\zeta$$ почти везде, где сходится в $\mathbb{R}$. Тогда можно сказать, что$f=\check{f}$почти везде? Если ответ отрицательный, возможно ли, что мера Лебега$\{x: f(x)\neq\check{f}(x)\}$ быть бесконечным?

Answer 1

Примечание. Я не уверен, правильно ли понимаю слово «сходится».

Это полностью аналогично аналогичному вопросу о сходимости рядов Фурье, который является классическим.

Позволять $$g(x,r) = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} d\zeta$$ "частичными суммами" обратного преобразования Фурье и обозначим через $$h(x, r) = \int_0^1 g(x, r t) dt = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} (1 - \tfrac{|\zeta|}{r}) d\zeta $$ средние по Чезаро $g$.

По теореме Планшереля $g(\cdot, r)$ свертка $f$ с функцией $\phi_r(x) = 2 r \operatorname{sinc}(\pi r x)$(которое играет ту же роль, что и ядро ​​Дирихле в теории рядов Фурье). Подобным образом,$h(\cdot, r)$ свертка $f$ с $\psi_r(x) = r (\operatorname{sinc}(\pi r x))^2$ (который служит непрерывным аналогом ядра Фейера).

поскольку $\psi_r(x)$ приближенное тождество как $r \to \infty$ (то есть: $\psi_r(x) = r \psi_1(r x)$, $\psi_r(x) \ge 0$ и $\int_{-\infty}^\infty \psi_r(x) dx = 1$), и дополнительно $\psi_1$ ограничена «радиально убывающей» интегрируемой функцией: $\psi_1(x) \leqslant \min\{1, 1 / (\pi x)^2\}$. Отсюда следует, что функции$f * \psi_r$ сходиться к $f$ в виде $r \to \infty$ почти везде (а также в $L^1$); см., например, следствие 2.43 в Расширенном реальном анализе Дэвида Маккормика и Хосе Луиса Родриго, доступное здесь . Следовательно,$h(x, r) \to f(x)$ почти везде как $r \to \infty$ (это изложено чуть ниже доказательства следствия 2.43 в книге по ссылке выше).

За фиксированный $x$, если $g(x, r)$ имеет предел как $r \to \infty$, то предел обязательно равен пределу средних Чезаро $h(x, r)$. Таким образом, если$g(x, r)$ сходится почти для всех $x$ в виде $r \to \infty$, то предел равен $f(x)$ почти везде.

Answer 2

Возможно, я ошибаюсь, но следующая переформулировка вашего вопроса кажется наиболее широкой.

Вопрос: пусть $u\in L^1$, так что $\hat u\in L^\infty$ является умеренным распределением и, следовательно, $v=F^{-1}\hat u$- хорошо определенное умеренное распределение. Предположим$v$ является функцией, что означает, что она совпадает с локально интегрируемой функцией $w$в смысле распределения. Правда ли, что$w=u$ э?

Таким образом, предполагается, что для любой тестовой функции $\phi$ у нас есть $v(\phi)=\int w \phi$, откуда по определению преобразования Фурье распределения следует $\int\hat u\cdot F^{-1}\phi=\int w\phi$ т.е. $\int u FF^{-1}\phi=\int w\phi$ для всех тестовых функций $\phi$. Очевидно, следует$u=w$ ае