Обратима ли сумма оператора сдвига и компактного оператора?

Question

Позволять $T$ - оператор правого сдвига, то есть $T(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$, предположим $E$ компактный оператор из $\ell^{\infty}\rightarrow \ell^{\infty}$, мочь $T+E$ быть обратимым оператором из $\ell^{\infty}\rightarrow \ell^{\infty}$? Кажется, что$T+E$ не может быть обратимым, но я не смог этого доказать.

Мы знаем это $T$ и $E$ не являются сюръективными операторами, я попытался показать, что $T+E$не сюръективен, поэтому не может быть обратимым, но потерпел неудачу. Не могли бы вы дать какие-нибудь комментарии?

Answer 1

$T+E$ будет оператором Фредгольма с индексом -1, поэтому он не будет обратимым.