Оценка повторного предела

Question

Позволять$f: \textrm{dom}(f) \rightarrow \mathbb{R}$.

Позволять$a \in \textrm{dom}(f)$.

Предполагать$f''(a)$существуют.

хочу доказать$f''(a) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) + f(a - h) - 2f(a)}{h^2}$.

$f''(a)$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(a + h) - f'(a)}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h)}{k} - \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + k) - f(a)}{k}}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \bigg( \frac{f(a + h + k) - f(a + h)}{k} - \frac{f(a + k) - f(a)}{k} \bigg)}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h) - f(a + k) + f(a)}{k}}{h}$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \Bigg( \! \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(a + h + k) - f(a + h) - f(a + k) + f(a)}{hk} \Bigg)$

Чтобы получить желаемый результат, я хотел бы заменить$k$с$-h$. Я сделал это, потому что, как$h \rightarrow 0$и$k \rightarrow 0$,$k \rightarrow -h$.

Однако такое рассуждение «$h \rightarrow 0$и$k \rightarrow 0$"было бы более применимо в случае предела с двумя переменными, поскольку$(h, k) \rightarrow (0, 0)$а не повторный предел, как показано в выражении, которое может не быть равным: Link .

Итак, как я могу оправдать замену$k$с$-h$?

Я подумал об использовании теоремы Мура-Осгуда, которая говорит, что повторный предел равен пределу с двумя переменными при достаточном условии. Однако я не знаком с многомерным исчислением и не уверен, как бы я его использовал в этом случае. К сожалению, я также не могу найти доказательство, соответствующее описанию в Википедии: Ссылка .

Answer 1

Согласно теореме Тейлора существует отображение$r_2$определенный в окрестности нуля такой, что

• $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a)h +\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)h^2+h^2r_2(h)$
• $\lim\limits_{h \to 0} r_2(h)=0$

Затем вы получаете желаемый вывод из равенства$$\frac{f(a + h) + f(a - h) - 2f(a)}{h^2}=f^{\prime\prime}(a)+r_2(h)+r_2(-h)$$