ODE в переменной $r$

Question

Я уверен, что это простой вопрос, но мне понадобится помощь.

Пытаясь решить PDE с использованием разделения переменных, я наткнулся на ODE.

Я хочу решить следующую ОДУ: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Решение $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Он проверяется, когда вы его подключаете, но как на самом деле получить решение?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Перепишите это как: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Теперь просто решите это как: $$y''+\lambda^2y=0$$ где $y=rR(r)$. Это просто линейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое легко решить.