Определить преобразование Фурье
Мне дано преобразование Фурье $f$ по $\widehat{f}(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^{4}}$ и должны определить преобразование Фурье $\widehat{g}$ из $g(x) = f(x) \cos(2 \pi x)$.
Я пробовал реконструировать $f$ от его преобразования Фурье такое, что $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\xi)e^{2 \pi i x \xi}d\xi$ а затем используя $f$ для прямого вычисления преобразования Фурье $g$ данный $\widehat{g}(\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} g(x)e^{-2 \pi i x \xi}dx$.
Но я всегда зацикливаюсь на этих интегралах. Возможно, есть какой-то трюк / трюк, который работает с прямыми вычислениями?
Ответы
Позволять $$\mathcal{F}{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi isx }dx$$У нас есть $$\mathcal{F}(fg) = \mathcal{F}{f}*\mathcal{F}g$$где $*$обозначает свертку. Также у нас есть$$\mathcal{F}\cos 2\pi a t = \frac{1}{2}(\delta(s-a)+\delta(s+a))$$ Вот $a = 1$ и результат $$\mathcal{F}g(s) = (\frac{1}{2}(\delta(s-1)+\delta(s+1)))*\frac{1}{1 + s^{4}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+(s-1)^4} + \frac{1}{1+(s+1)^4})$$
Перед некоторыми комментариями, добавляющими некоторую предысторию очень эффективного подхода @ SHW, возможно, стоит привести (знаковый!) Аргумент, который легче обосновать:
Поскольку косинус представляет собой линейную комбинацию комплексных экспонент, достаточно вычислить $\int_{-\infty}^\infty { e^{itx}\over 1+x^4 }dx$ серьезно $t$. Есть два случая, в зависимости от признака$t$. За$t\ge 0$, функция $z\to e^{itz}$ограничена в верхней полуплоскости. Таким образом, как$R\to +\infty$, интеграл от $e^{itz}/(1+z^4)$ над полукругом в верхней полуплоскости радиуса $R$, идет в $0$, по несложным оценкам. Интеграл по этой вспомогательной дуге вместе с интегралом по$[-R,R]$ на реальной линии, это $2\pi i$умноженная на сумму остатков внутри полученного замкнутого контура. Это происходит именно в$z=e^{2\pi i/8}$ и в $z=e^{2\pi i\cdot 3/8}$...
За $t\le 0$, вместо этого мы должны использовать дугу в нижней полуплоскости, потому что именно там $z\to e^{itz}$ ограничена, так что интеграл по вспомогательной дуге переходит в $0$, и теорема о вычетах легко применяется.
Преобразование произведений в свертки с помощью преобразования Фурье часто является очень хорошей эвристикой, поскольку оно полезно упаковывает определенные стандартные вычисления. Но, да, есть некоторые опасности, особенно в определении границ применимости идей. Для начала, да, как вычислить преобразования Фурье таких функций, как$e^{iz}$ или же $\cos(z)$, когда интегралы вообще не сходятся? Ну, расширенный смысл имеет (доказуемо) дает самосогласованные ответы (как и в @ обсуждении SHW в), а иногда дает более экономичный вычислительный маршрут.
Некоторые из потенциальных опасностей включают вычисление сверток для неклассических, то есть непоточечно определенных функций, поскольку интегралы не могут быть буквальными интегралами. Другая опасность связана с ассоциативностью свертки: она определенно терпит неудачу даже в кажущихся обыденными ситуациях, таких как знаковые$$ (1*\delta')*H \;=\; 0 * H \;=\; 0\;\not=\; 1\;=\; 1 * \delta \;=\; 1 * (\delta' * H) $$ где $1$ - тождественно-единица и $H$ - ступенчатая функция Хевисайда.
РЕДАКТИРОВАТЬ: неполный список ситуаций, в которых преобразование Фурье преобразует продукты в свертки:
Для функций Шварца (преобразованных в себя преобразованием Фурье) это свойство выполняется, и мы имеем ассоциативность. Вне этого случая вещи не могут оставаться полностью симметричными. Например, в иконическом контрпримере все распределения имеют умеренный темп, поэтому они имеют преобразования Фурье. Мы можем ожидать, что если$f,g$ не могут быть умножены поточечно, что может происходить частично из-за того, что они не имеют поточечных значений, тогда $fg$ может быть не чем-то, что мы могли бы использовать преобразованием Фурье.
Другая проблема, которая демонстрирует некоторые ограничения, - это расширение определения свертки (не просто «определение», но разумное взаимодействие с другими операциями). И это не может быть полностью симметричным в свете культового контрпримера. Одно допустимое расширение - иметь дистрибутивы с компактной поддержкой.$u$ действовать на гладкие функции $f$ по $(u*f)(x)=u(T_xf)$ где $T_x$ переводится $x$. Это действительно дает еще одну плавную функцию в качестве результата. Тогда существует доказуемая "свертка" распределений с компактным носителем такая, что для всех гладких$f$ у нас есть $(u*v)*f=u*(v*f)$. Фактически, было бы лучше использовать другое обозначение действия , чтобы осветить отсутствие симметрии: напишите$u\cdot f$... тогда $(u*v)\cdot f=u\cdot (v\cdot f)$.
Из результатов типа Пэли-Винера мы знаем, что преобразования Фурье некоторых целых функций являются распределениями с компактным носителем. Как правило, мы начинаем с очень осязаемых распределений с компактным носителем и имеем некоторый удобный специальный способ вычисления их преобразований Фурье (кроме очевидного интеграла, который обычно не имеет смысла).
Итак, как указывают некоторые классические источники, одним из ограничений в желании ассоциативности свертки является то, что по крайней мере два из задействованных элементов должны иметь компактную поддержку. Эта кажущаяся асимметрия подлинна: как и в предыдущем абзаце, «в действительности» объекты с компактной опорой действуют на объекты с некомпактной опорой, во многих случаях, когда объекты с некомпактной опорой не действуют разумно.