Положительность оператора

Aug 17 2020

Рассмотрим функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ класса $C^1$. Если$f(0)=0$ и $f'(0)>0$ ясно что есть некоторые $t_0>0$ такой, что $f(t_0)>0$.

Сейчас если $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ класса $C^1$, где $\mathcal{M}^{n\times n}$ настоящие $n\times n$ матрицы, если $f(0)=0$ и если $f'(0)$ является строго положительно определенной матрицей, снова будет $t_0$ такой, что $f(t_0)$ - строго положительно определенная матрица.

Вопрос в том, верно ли это даже для операторов? В частности, пусть$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ класса $C^1$, где $\mathcal{O}$ - множество компактных самосопряженных операторов в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Позволять$f(0)=0$ и предположим, что $f'(0)$ компактный положительный самосопряженный оператор, верно ли, что должен существовать $t_0$ такой, что $f(t_0)$ положительный?

Ответы

2 ArcticChar Aug 17 2020 at 04:18

Нет. Контрпример: Пусть $H = \ell^2$ и $M : H \to H$ быть предоставленным

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

потом $M$компактно (пределы операторов конечного ранга), самосопряжено и положительно. Далее пусть$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ - гладкая нечетная функция, так что

  • $\varphi(t) = t$ на $[-1,1]$,
  • $|\varphi (t)|\le 1.1$
  • $\varphi$ уменьшается на $[1.1, 2]$ и
  • $ \varphi(t) = 0$ на $[2, \infty)$.

Для каждого $n$, определить $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Определить$ M_t:=f(t)$ от $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

потом $M_0 = 0$ и каждый $M_t$самосопряженный, конечный ранг (следовательно, неположительный). Также,$f$ является $C^1$. Действительно, можно проверить, что$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ поскольку $\varphi_n'(0)=1$ для всех $n$, у нас есть $f'(0) = M$.