Понимание проблем интеграла по пути Фейнмана
Предположим, мы живем на евклидовом $\mathbb{R}^d$ и рассмотрим нормированную статистическую сумму
\ begin {уравнение} \begin{aligned} Z : D &\to \mathbb{R} \\ J &\mapsto \frac{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) + \left \langle J, \psi \right \rangle\right] \mathcal{D} \psi}{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi} \end{aligned} \ end {уравнение}
где $D$ за пространство тестовых функций на $\mathbb{R}^d$, $\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle$ это стандарт $L^2$ внутренний продукт и $S : D \to \mathbb{R}$ обозначает подходящее классическое действие.
Вот некоторые наивные идеи, чтобы понять приведенные выше выражения:
- (M1) С математической точки зрения, на бесконечномерных векторных пространствах нет меры, подобной Лебегу. Однако, исходя из моего (совершенно неадекватного) понимания меры Винера, существует совершенно точная гаусианская мера$\mu$ (на большем пространстве, чем $D$) так, что в большинстве случаев $\exp \left[ - S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi := \exp \left[ - S_{\mathrm{int}} \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \mu\left( \psi \right)$ где правая часть теперь четко определена.
- (M2) Можно рассматривать пополнения гильбертова пространства $H$ из $D$ относительно некоторого внутреннего продукта и определим вышеупомянутое частное как предел интегрирований по конечномерным исчерпаниям $H$ которые предпочтительно лежат внутри $D$.
Но почему-то такие интегралы считаются математически неточными. Что именно идет не так? Некоторые мои идеи:
- (P1) Не существует уникального способа встраивания $D$ в большее пространство, на котором можно определить меру Винера
- (P2) Числитель / знаменатель в приведенном выше выражении бесконечны, если рассматривать их как интегралы Лебега относительно меры Винера, и взятие частного требует некоторого неединственного выбора предела.
- (P3) Аппроксимация конечномерными интегралами зависит от выбора исчерпывающих подпространств
- (P4) Аппроксимация конечномерными интегралами зависит от выбора скалярного произведения на $D$
- (P5) Фактор в определении $Z$ зависит от того, как взяты пределы исчерпывающих подпространств, т.е. по аналогии с $\lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x \neq \lim_{n \to \infty} \int_{-2n}^{2n + 1} \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x$.
Ответы
Я взял на себя смелость поставить несколько меток (M1), (M2) для двух предложенных методов понимания интеграла, а также (P1) - (P5) для списка проблем, которые могут возникнуть. Это позволяет мне ссылаться на конкретные элементы вопроса.
Если заменить $J$ по $iJ$ с участием $J$ действительнозначный, то функционал $Z$- характеристическая функция вероятностной меры (в полностью стандартных рамках теории интегрирования Лебега), которую хотелось бы определить строго. Самое удобное пространство$D$ для тестовых функций $J$ это пространство Шварца $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$. В этом случае пространство, где будет жить искомая вероятностная мера, является двойным пространством$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ умеренных распределений Шварца.
О (M1): Это не работает. Также избегайте неправильной (и подверженной ошибкам) терминологии «меры Винера». Последнее о$d=1$ где мера $\mu$ поддерживается в пространстве непрерывных функций и где умножение на вес Радона-Никодима $\exp(-S_{\rm int}(\psi))$имеет смысл, по крайней мере, в конечном объеме. За$d\ge 2$, мера $\mu$, рассматриваемый как вероятностный закон для случайного распределения $\psi$, такова, что с вероятностью 1 величина $S_{\rm int}(\psi)$ не имеет смысла, например, потому что содержит такие термины, как $\psi(x)^4$. Так что в этом смысле (M1) не является решением проблемы. Однако можно исправить эту попытку, введя обрезание Фурье и таким образом изменив$\mu$. Это дает ситуацию, аналогичную (M2), где имеется хорошо определенная последовательность мер на$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ индексируется по отсечениям (частота и объем), и возникает вопрос: сходится ли эта последовательность в подходящей топологии в пространстве вероятностных мер на $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$. Наиболее естественной топологией здесь является слабая сходимость, соответствующая поточечной (в$J$) сходимость соответствующих функционалов $Z$. Тот же вопрос о сходимости последовательности приближений (с использованием конечного числа точек решетки) является основным вопросом, который необходимо решить методом (M2).
Детально выполнить (M2) поучительно даже для построения массивного свободного поля, т. Е. Меры $\mu$. Это делается в двух сообщениях MathOverflow.
https://mathoverflow.net/questions/362040/reformulation-construction-of-thermodynamic-limit-for-gff?rq=1
https://mathoverflow.net/questions/364470/a-set-of-questions-on-continuous-gaussian-free-fields-gff
Что может пойти не так: позвольте мне теперь рассмотреть проблемы, которые могут возникнуть, и обсудить (P1) - (P5). Предложение последнего в качестве списка потенциальных проблем на самом деле равносильно тому, чтобы поставить телегу впереди лошади, потому что это неявно предполагает, что наличие предела или некоторого результата метода (M1) или (M2) не вызывает проблем, и все, что нужно нужно беспокоиться об уникальности этого результата. Основная проблема, которая может возникнуть, заключается в том, что предела может не быть, даже если он ограничивается подпоследовательностью (потеря плотности или уход массы вероятности в бесконечность). Другая проблема в том, что полученный предел может быть гауссовским, т.е. неинтересным. Видеть
https://mathoverflow.net/questions/260854/a-roadmap-to-hairers-theory-for-taming-infinities/260941#260941
подробнее об этом, но, короче говоря, нужно дать себе больше гибкости, позволив связям зависеть от отсечки, чтобы получить интересные пределы. Как это сделать, зависит от анализа ренормгруппы. Видеть
Каково вильсоновское определение перенормируемости?
Наконец, ожидалось, что когда предел существует, он будет уникальным, т. Е. Не зависящим от произвольного выбора при настройке последовательности аппроксимации, но только несколько результатов этого типа были получены строго. Для$\phi_3^4$ модель, недавняя конструкция находится в статье Губинелли и Хофманова https://arxiv.org/abs/1810.01700