Предел с арктангом

Question

Мне нужно рассчитать другой предел, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Я понятия не имею, с чего начать или что делать, потому что я никогда раньше не имел дела с арктаном в лимите.

Что мне делать в первую очередь?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, так $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, так как $\tan x$ и $\arctan x$ являются обратными функциями друг друга для $x \in [0, \pi/2)$.

Остальное - прямая подмена. У вас должно получиться:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Прежде всего: не паникуйте! :-)

У арктангенса есть отличная идентичность: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Поскольку предел рассчитан на $x\to\infty$, предположить, что $x>0$, так $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ и, установив $y=1/x$, предел становится $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ что не является неопределенной формой, потому что это $1^0=1$.